1. Рівняння Максвелла: електромагнетизм у 4 рівняннях
Рівняння Максвелла (1865) об'єднали електрику, магнетизм і оптику в єдину теорію. У диференціальній формі:
Рівняння Максвелла (СІ):
∇·E = ρ/ε₀ ← Гаусс для E (джерела поля)
∇·B = 0 ← Гаусс для B (немає магн. монополів)
∇×E = −∂B/∂t ← Фарадей (змінне B → E)
∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t ← Ампер-Максвелл (струм + зміна E → B)
де:
E — електричне поле (В/м)
B — магнітне поле (Тл)
ρ — об'ємна щільність заряду
J — вектор щільності струму
ε₀ ≈ 8.854×10⁻¹² Ф/м
μ₀ = 4π×10⁻⁷ Гн/м
Хвильове рівняння для E та B (у вакуумі)
У вакуумі: ρ=0, J=0
∇×(∇×E) = −∇×(∂B/∂t) = −∂/∂t(∇×B) = −μ₀ε₀∂²E/∂t²
Тотожність: ∇×(∇×E) = ∇(∇·E) − ∇²E = −∇²E
→ ∇²E − μ₀ε₀ ∂²E/∂t² = 0 ← хвильове рівн. для E!
Швидкість світла:
c² = 1/(μ₀ε₀) → c ≈ 3×10⁸ м/с ✓
Плоска хвиля: E = E₀·cos(k·x − ωt)
ω/k = c, E⊥B⊥k (поперечна хвиля)
2. Хвильове рівняння: струна, звук, EM-хвилі
Хвильове рівняння описує поширення збурень у пружних середовищах:
Загальна форма (1D):
∂²u/∂t² = c²·∂²u/∂x²
Розв'язок Д'Аламбера (1747):
u(x,t) = f(x−ct) + g(x+ct)
= суперпозиція хвилі вправо і вліво
Крайова задача: струна [0,L], u(0,t)=u(L,t)=0
Метод розподілу змінних u(x,t) = X(x)·T(t):
X''/X = T''/(c²T) = −λ (константа)
X'' + λX = 0 → X = sin(nπx/L), λₙ=(nπ/L)²
T'' + c²λₙT = 0 → T = Aₙcos(ωₙt) + Bₙsin(ωₙt)
ωₙ = nπc/L ← власні частоти
Загальний розв'язок:
u(x,t) = Σₙ sin(nπx/L)·[Aₙcos(ωₙt) + Bₙsin(ωₙt)]
3D хвильове рівняння та сферично-симетричний випадок
3D хвильове рівняння: □u = 0
□ = ∂²/∂t² − c²∇² ← оператор Д'Аламбера
Сферично-симетричний випадок: u = u(r,t)
∂²u/∂t² = c²(∂²u/∂r² + 2/r·∂u/∂r)
Підстановка v = r·u:
∂²v/∂t² = c²·∂²v/∂r² ← 1D хвильове рівняння!
v = f(r−ct) + g(r+ct)
u(r,t) = [f(r−ct) + g(r+ct)] / r ← сферична хвиля
3. Рівняння теплопровідності (дифузії)
Рівняння Фур'є описує розподіл тепла в часі:
1D рівняння теплопровідності:
∂u/∂t = α²·∂²u/∂x² α² = k/(ρcₚ) — коефіцієнт теплопровідності
Стрижень [0,L], u(0,t)=u(L,t)=0, u(x,0)=f(x):
Метод розподілу змінних:
X'' + λX = 0 → Xₙ = sin(nπx/L)
T' + α²λₙT = 0 → Tₙ = e^(−α²(nπ/L)²t)
Розв'язок:
u(x,t) = Σₙ bₙ·sin(nπx/L)·exp(−α²n²π²t/L²)
bₙ = (2/L)·∫₀ᴸ f(x)·sin(nπx/L) dx ← коефіцієнти Фур'є
Фундаментальний розв'язок (на прямій ℝ):
G(x,t) = 1/(2α√(πt)) · exp(−x²/(4α²t)) ← гаусіан!
u(x,t) = ∫ₐ₋∞^∞ f(ξ)·G(x−ξ,t) dξ ← згортка з ядром теплоти
4. Рівняння Шредінгера: квантова механіка
Рівняння Шредінгера (1926) — основне рівняння квантової механіки:
Нестаціонарне рівняння Шредінгера:
iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ = [−ℏ²/(2m)∇² + V(r)]ψ
Статистична інтерпретація: |ψ(r,t)|² = щільність ймовірності
∫|ψ|² dV = 1 ← нормування
Стаціонарне рівняння (ψ = φ(r)·e^(−iEt/ℏ)):
Ĥφ = Eφ ← задача на власні значення!
[−ℏ²/(2m)∇² + V(r)]φ = Eφ
Квадратна яма: V=0 на [0,L], V=∞ поза:
φₙ = √(2/L)·sin(nπx/L)
Eₙ = n²π²ℏ²/(2mL²) = n²E₁ n=1,2,3,...
Гармонічний осцилятор: V = ½mω²x²:
Eₙ = ℏω(n + ½) n=0,1,2,... ← дискретний спектр
φₙ ~ Hₙ(x)·e^(−x²/2) ← ерміт. поліноми
Квантова механіка: оператор кутового моменту і атом водню
Оператор кутового моменту L̂ = r̂ × p̂ = −iℏ(r × ∇):
L̂²Yₗₘ = ℏ²l(l+1)Yₗₘ (l=0,1,2,...)
L̂ᴢYₗₘ = ℏm·Yₗₘ (m=−l,...,+l)
Yₗₘ — сферичні гармоніки
Атом водню: V = −e²/(4πε₀r)
Eₙ = −13.6 еВ / n² n=1,2,3,... ← рівні Бора!
ψₙₗₘ(r,θ,φ) = Rₙₗ(r)·Yₗₘ(θ,φ)
Rₙₗ ~ e^(−r/na₀) поліноми Лагера (асоційовані)
5. Метод розподілу змінних: загальна схема
Загальна схема для Ĥu = λu або ∂u/∂t = Lu:
1. Шукаємо u(x,t) = X(x)·T(t)
2. Підставляємо → отримуємо ODE для X (задача Штурма-Ліувілля)
3. Крайові умови → дискретний набір власних значень {λₙ} і функцій {Xₙ}
4. Виписуємо T(t) для кожного λₙ
5. Загальний розв'язок — суперпозиція: Σ cₙ·Xₙ(x)·Tₙ(t)
6. Початкові умови → серія Фур'є для cₙ
Задача Штурма-Ліувілля: (p(x)X')' + (q(x)+λw(x))X = 0
Власні функції ортогональні: ∫Xₙ·Xₘ·w dx = 0 при n≠m
→ дозволяє знайти cₙ через проекцію
| Рівняння | Тип | Власні функції | Застосування |
|---|---|---|---|
| ∇²u = 0 | Еліптичне | гарм. функції | Електростатика |
| ∂u/∂t = α∇²u | Параболічне | sin/cos/exp | Теплопровідність |
| ∂²u/∂t² = c²∇²u | Гіперболічне | sin/cos/exp | Хвилі |
| iℏ∂ψ/∂t = Ĥψ | Диспер. хвилі | сф. гармоніки | КМ |