1. Броунівський рух (Вінерів процес)
Броунівський рух — математична модель хаотичного руху дрібних частинок у рідині. Теоретично обґрунтований Ейнштейном (1905) та формалізований Вінером (1923):
Вінерів процес W(t) (або B(t)) визначається аксіомами:
1. W(0) = 0 (стартує з нуля)
2. W(t) − W(s) ~ N(0, t−s) для 0 ≤ s < t
3. Прирости W(t₁)−W(t₀), W(t₂)−W(t₁), ... незалежні
4. Траєкторії W(t) неперервні (але ніде не диференційовні!)
Основні властивості:
E[W(t)] = 0
Var[W(t)] = t
Cov[W(s),W(t)] = min(s,t)
Квадратична варіація: [W,W]_t = t ← нескінченна
(dW)² = dt у сенсі Іто
Масштабування: λ·W(t/λ²) ≡ W(t) у розподілі
→ саморподібний (фракталоподібний) процес
Броунівський рух є фундаментом для стохастичного числення і широко застосовується у фінансах (модель Блека-Шоулса), фізиці (дифузія) та статистичній механіці.
Ейнштейнівська дифузія та формула Ейнштейна-Смолуховського
Ейнштейн (1905): середнє квадратне зміщення частинки:
⟨x²⟩ = 2Dt
D = kT/(6πηr) ← коефіцієнт дифузії Ейнштейна-Стокса
де: k — стала Больцмана, T — температура,
η — в'язкість, r — радіус частинки
Зв'язок з Вінеровим процесом:
x(t) = √(2D)·W(t)
Перевіряємо: Var[x(t)] = 2D·Var[W(t)] = 2Dt ✓
2. Процес Пуассона
Процес Пуассона моделює кількість подій за час t, якщо події настають незалежно з постійною середньою швидкістю λ:
Процес Пуассона N(t) з інтенсивністю λ:
P(N(t) = k) = e^(−λt)·(λt)^k / k! k = 0,1,2,...
Основні характеристики:
E[N(t)] = λt
Var[N(t)] = λt ← рівність середнього і дисперсії!
Аксіоми:
1. N(0) = 0
2. Незалежні прирости на непересічних інтервалах
3. P(N(t+h)−N(t)=1) = λh + o(h) (мала ймовірність 2+ подій за dt)
Час між подіями: Tₙ ~ Exp(λ):
P(T > t) = e^(−λt); E[T] = 1/λ
Складений процес Пуассона:
S(t) = Σᵢ₌₁^(N(t)) Xᵢ де Xᵢ — i.i.d. розміри стрибків
E[S(t)] = λt·E[X] Var[S(t)] = λt·E[X²]
3. Ланцюги Маркова: марківська властивість
Ланцюг Маркова — процес з «відсутністю пам'яті»: майбутній стан залежить лише від теперішнього, не від минулого:
Марківська властивість:
P(Xₙ₊₁=j | Xₙ=i, Xₙ₋₁=iₙ₋₁,...) = P(Xₙ₊₁=j | Xₙ=i) = pᵢⱼ
Матриця переходів P = [pᵢⱼ], де:
pᵢⱼ ≥ 0, Σⱼ pᵢⱼ = 1 (стохастична матриця)
n-крокові переходи: P(Xₙ=j|X₀=i) = (Pⁿ)ᵢⱼ
Стаціонарний розподіл: πP = π, Σᵢπᵢ = 1
Для ергодичних ланцюгів: (Pⁿ)ᵢⱼ → πⱼ при n→∞
Класифікація станів:
- Транзієнтний: E[Tᵢ] = ∞ (повернення не гарантоване)
- Рекурентний: E[Tᵢ] < ∞ (повернення гарантоване)
- Поглинаючий: pᵢᵢ = 1 (звідси немає виходу)
Детальний баланс (умова): πᵢpᵢⱼ = πⱼpⱼᵢ
→ достатня умова для π = стаціонарного розподілу
Приклад: ланцюг Маркова з двома станами (погода)
Стани: {0=дощ, 1=сонце}
P = [[0.7, 0.3], ← з дощу: 70% дощ, 30% сонце
[0.4, 0.6]] ← з сонця: 40% дощ, 60% сонце
Стаціонарний розподіл πP = π:
π₀·0.7 + π₁·0.4 = π₀
π₀·0.3 + π₁·0.6 = π₁
π₀ + π₁ = 1
−0.3π₀ + 0.4π₁ = 0 → π₀ = 4/7 ≈ 0.571
π₁ = 3/7 ≈ 0.429
Довгострокова частка дощових днів: 4/7 ≈ 57%
4. Мартингали
Мартингал — процес без «передбачуваного тренду»: умовне математичне сподівання наступного кроку дорівнює поточному значенню:
Означення мартингала:
E[Xₙ₊₁ | X₀,...,Xₙ] = Xₙ (дискретний)
E[X(t) | ℱₛ] = X(s) для t > s (неперервний)
де ℱₛ — σ-алгебра (вся інформація до моменту s)
Приклади мартингалів:
• W(t) — вінерів процес (E[dW]=0)
• W(t)² − t (квадратний мартингал)
• e^(σW(t) − σ²t/2) ← геометричний мартингал
• Накопичений виграш у справедливій грі
Теорема зупинки Дуба: якщо τ — момент зупинки
та певні умови інтегровності виконані:
E[X(τ)] = E[X(0)] ← рівномірна інтегровність
Нерівність Дуба: P(max₀≤ₜ≤T Xₜ ≥ a) ≤ E[Xₜ]/a
5. Стохастичні диференціальні рівняння та формула Іто
СДР описують динаміку систем під дією випадкового шуму. Формула Іто — аналог ланцюгового правила:
Стохастичне диференціальне рівняння (СДР):
dX = μ(X,t)dt + σ(X,t)dW
де μ — дрифт, σ — дифузія, W — Вінерів процес
Формула Іто (ланцюгове правило для f(X,t)):
df = (∂f/∂t + μ∂f/∂X + ½σ²∂²f/∂X²)dt + σ∂f/∂X dW
└─────────── генератор інфінітезимальний ───────┘
Ключова відмінність від класичного числення:
(dX)² = σ²dt ← другий порядок не дорівнює нулю!
dX·dt = 0
Геометричне броунівське: dS = μS dt + σS dW
Розв'язок Іто:
S(t) = S(0)·exp((μ − σ²/2)t + σW(t))
← модель акцій Блека-Шоулса (1973)
Рівняння Блека-Шоулса:
∂V/∂t + ½σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S − rV = 0
Ціна опціону: C = S·Φ(d₁) − K·e^(−rT)·Φ(d₂)
d₁ = [ln(S/K)+(r+σ²/2)T]/(σ√T)
| Процес | Тип | Головна властивість | Застосування |
|---|---|---|---|
| Вінерів W(t) | Неперервний | Нормальні прирости | Дифузія, фінанси |
| Пуассонів N(t) | З стрибками | Цілочисленний, λt | Черги, події |
| Ланцюг Маркова | Дискретний | Без пам'яті | Моделювання |
| Мартингал | Загальний | E[Xₜ|ℱₛ]=Xₛ | Справедлива гра |
| Геом. Брауна | СДР | Логнормальний | Ціни акцій |