Довірчий інтервал (ДІ) — діапазон значень, що з заданою ймовірністю (рівнем довіри) містить істинне значення параметра генеральної сукупності. Найчастіше використовують 95% ДІ: «Якщо повторити вибірку 100 разів, у 95 випадках інтервал містить істинне середнє».
Статистика — наука про збір, обробку, аналіз і інтерпретацію числових даних. Описова статистика характеризує вибірку (середнє, дисперсія, медіана), тоді як математична статистика дозволяє робити висновки про генеральну сукупність на основі обмеженої вибірки — будуючи довірчі інтервали та перевіряючи гіпотези. Сучасна статистика від класичних тестів Стьюдента до байєсівського аналізу є незамінним інструментом будь-якого дослідника.
Розрахунок довірчого інтервалу
Формули довірчих інтервалів
ДІ для середнього (σ відома, z-інтервал)
CI = x̄ ± z · (σ / √n)
де:
x̄ — вибіркове середнє
σ — відоме стандартне відхилення генеральної сукупності
n — обсяг вибірки
z — квантиль нормального розподілу:
90% → z = 1.645
95% → z = 1.960
99% → z = 2.576
ДІ для середнього (σ невідома, t-інтервал)
CI = x̄ ± t(α/2, n−1) · (s / √n)
де s — вибіркове стандартне відхилення
t — квантиль розподілу Стьюдента з (n−1) ступенями свободи
Значення t залежить від n: при n > 30 ≈ z
ДІ для частки (Wilson/нормальне наближення)
CI = p ± z · √(p(1−p)/n)
де:
p = k/n — вибіркова частка (k — кількість успіхів)
n — обсяг вибірки
Умова застосування: n·p ≥ 5 і n·(1−p) ≥ 5
Похибка вибірки (margin of error):
ME = z · √(p(1−p)/n)
Стандартна похибка середнього (SE)
SE = σ / √n (або s / √n)
Чим більша вибірка n — тим менша SE і вужчий ДІ
Практичне значення та контекст
Коротка довідка
Гаус і Лежандр розробили метод найменших квадратів на початку XIX ст. Фішер заклав основи сучасної статистики в 1920-х роках.
Де застосовується
Медицина та клінічні дослідження: аналіз ефективності препаратів, контрольні групи. Соціальні науки: опитування, вибіркові методи, аналіз даних. Бізнес та фінанси: аналіз ринків, прогнозування, контроль якості. Наука про дані (Data Science): статистика є фундаментом ML/AI.
Часті запитання (FAQ)
Яка різниця між генеральною сукупністю та вибіркою?
Генеральна сукупність — це весь набір об'єктів, що досліджуються (наприклад, всі студенти університету). Вибірка — підмножина генеральної сукупності, яку реально вимірюють. Статистичні оцінки (середнє, відхилення) обчислюються за вибіркою, але слугують для оцінки параметрів генеральної сукупності.
Коли використовувати середнє арифметичне, а коли медіану?
Середнє арифметичне підходить для симетричних розподілів без викидів (аномальних значень). Медіана краща при несиметричних розподілах або наявності викидів — наприклад, для аналізу доходів населення, де кілька наддоходів сильно завищили б середнє. Мода використовується для категоріальних або дискретних даних.
Як користуватися цим калькулятором?
Введіть необхідні значення у відповідні поля та натисніть кнопку обчислення. Результат відобразиться одразу. Калькулятор підтримує десяткові числа та від'ємні значення — для введення від'ємного числа використовуйте знак мінус. Усі розрахунки виконуються онлайн без встановлення додаткового програмного забезпечення.
Чи можна використовувати калькулятор безкоштовно?
Так, усі калькулятори на сайті calculator.party повністю безкоштовні. Жодна реєстрація не потрібна — просто відкрийте сторінку та починайте обчислення. Калькулятори доступні 24/7 і працюють у будь-якому сучасному браузері на комп'ютері, планшеті або смартфоні.
Яка точність обчислень калькулятора?
Калькулятор використовує 64-бітну арифметику з плаваючою точкою (стандарт IEEE 754), що забезпечує точність до 15–16 значущих цифр. Для більшості практичних задач цього більш ніж достатньо. Результати округлюються до 4–6 значущих цифр для зручності читання.