📊 Аналіз Систем Керування

Передавальні функції • Діаграми Боде • Критерії стійкості • ЛАХ і ЛФХ

Передавальна функція W(s)

Введіть коефіцієнти полінома чисельника та знаменника передавальної функції.
Формат: W(s) = (b_n·s^n + ... + b_1·s + b_0) / (a_m·s^m + ... + a_1·s + a_0)

Діаграма Боде (ЛАХ і ЛФХ)

Логарифмічна амплітудна (ЛАХ) та фазова (ЛФХ) частотні характеристики.
Використовується для аналізу запасів стійкості та смуги пропускання.

Діаграма Найквіста

Годограф вектора W(jω) на комплексній площині при зміні ω від 0 до ∞.
Критерій Найквіста використовується для оцінки стійкості замкненої системи.

Корінь годограф (Root Locus)

Траєкторії руху коренів характеристичного рівняння при зміні коефіцієнта посилення K.
Характеристичне рівняння: 1 + K·G(s)H(s) = 0

Перехідна характеристика h(t)

Реакція системи на одиничний східчастий вплив.
Аналіз часу регулювання, перерегулювання, часу наростання.

Налаштування ПІД-регулятора

Проектування ПІД-регулятора: W_pid(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
Методи Зіглера-Нікольса, аналіз замкненої системи з регулятором.

Теорія систем автоматичного керування

1. Передавальна функція

Передавальна функція - відношення зображення Лапласа вихідного сигналу до зображення вхідного при нульових початкових умовах:

W(s) = Y(s) / X(s) = (b_n·s^n + ... + b_0) / (a_m·s^m + ... + a_0)

Полюси - корені знаменника (характеристичного рівняння)

Нулі - корені чисельника

2. Критерії стійкості

Критерій Гурвіца: всі визначники матриці Гурвіца мають бути додатні

Критерій Рауса: всі елементи першого стовпця таблиці Рауса додатні

Критерій Найквіста: годограф W(jω) не охоплює точку (-1, j0) при відсутності правих полюсів

Алгебраїчний критерій: всі полюси мають від'ємні дійсні частини

3. Діаграма Боде

Складається з двох графіків:

ЛАХ (логарифмічна амплітудна характеристика):

L(ω) = 20·log₁₀|W(jω)| [дБ]

ЛФХ (логарифмічна фазова характеристика):

φ(ω) = arg W(jω) [градуси]

Запас по фазі (PM): PM = 180° + φ(ω_c), де ω_c - частота зрізу (|W(jω_c)| = 1)

Запас по амплітуді (GM): GM = -L(ω_π), де ω_π - частота при φ = -180°

4. Корінь годограф (Root Locus)

Геометричне місце точок коренів характеристичного рівняння при зміні параметра K:

1 + K·G(s)H(s) = 0

Правила побудови:

  • Гілки починаються в полюсах розімкненої системи
  • Гілки закінчуються в нулях розімкненої системи або в ∞
  • Число гілок дорівнює порядку системи
  • Годограф симетричний відносно дійсної осі
  • Центроїд: σ_c = (Σполюсів - Σнулів) / (n - m)

5. Перехідна характеристика

Реакція на одиничний східчастий вплив 1(t):

h(t) = L⁻¹{W(s)/s}

Показники якості:

  • Час наростання t_r: час від 10% до 90% усталеного значення
  • Час регулювання t_s: час досягнення ±2% від усталеного значення
  • Перерегулювання σ: σ = (h_max - h_∞)/h_∞ · 100%
  • Коливальність: кількість коливань навколо усталеного значення

6. ПІД-регулятор

Закон керування:

u(t) = K_p·e(t) + K_i·∫e(τ)dτ + K_d·de(t)/dt

W_pid(s) = K_p + K_i/s + K_d·s

Метод Зіглера-Нікольса (метод коливань):

  1. Встановити K_i = 0, K_d = 0
  2. Збільшувати K_p до настання незагасаючих коливань (критичне посилення K_cr)
  3. Виміряти період коливань T_cr
  4. Розрахувати: K_p = 0.6·K_cr, K_i = 1.2·K_cr/T_cr, K_d = 0.075·K_cr·T_cr

Вплив коефіцієнтів:

  • K_p: зменшує статичну помилку, може погіршити стійкість
  • K_i: усуває статичну помилку, може викликати коливання
  • K_d: зменшує перерегулювання, покращує швидкодію

7. Частотні характеристики

АФЧХ (амплітудно-фазова): W(jω) = U(ω)·e^(jφ(ω))

АЧХ: A(ω) = |W(jω)|

ФЧХ: φ(ω) = arg W(jω)

Смуга пропускання: діапазон частот, де A(ω) ≥ A_max/√2

8. Типові ланки

Ланка Передавальна функція Перехідна характеристика
Підсилювальна W(s) = K h(t) = K
Інерційна 1-го порядку W(s) = K/(T·s + 1) h(t) = K(1 - e^(-t/T))
Коливальна W(s) = K/(T²·s² + 2ξT·s + 1) Коливання при ξ < 1
Інтегруюча W(s) = K/s h(t) = K·t
Диференціююча W(s) = K·s h(t) = K·δ(t)

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Інструменти даного типу широко застосовуються у навчальній та дослідницькій діяльності. Вони дозволяють швидко отримувати точні числові результати, перевіряти аналітичні розрахунки та моделювати різноманітні сценарії. Використання онлайн-калькуляторів значно прискорює роботу науковців, інженерів, студентів та спеціалістів-практиків, які щодня стикаються з відповідними обчислювальними задачами.

Часті запитання (FAQ)

Що таке хімічна рівновага?

Хімічна рівновага — стан системи, при якому швидкості прямої та зворотної реакцій рівні, і склад системи не змінюється з часом (в умовах незмінних зовнішніх умов). Рівновага описується константою рівноваги Kc або Kp. За принципом Ле-Шательє, зміна умов (температура, тиск, концентрація) зміщує рівновагу в бік, що компенсує цю зміну.

Як відрізнити кислоту від основи?

За теорією Бренстеда-Лоурі: кислота — донор протона (H⁺), основа — акцептор протона. За Арреніусом: кислота дисоціює з утворенням H⁺, основа — OH⁻. Кількісно кислотність оцінюється показником pH: pH < 7 — кисле середовище, pH = 7 — нейтральне, pH > 7 — лужне. Визначають за допомогою індикаторів або pH-метра.

Як користуватися цим калькулятором?

Введіть необхідні значення у відповідні поля та натисніть кнопку обчислення. Результат відобразиться одразу. Калькулятор підтримує десяткові числа та від'ємні значення — для введення від'ємного числа використовуйте знак мінус. Усі розрахунки виконуються онлайн без встановлення додаткового програмного забезпечення.

Чи можна використовувати калькулятор безкоштовно?

Так, усі калькулятори на сайті calculator.party повністю безкоштовні. Жодна реєстрація не потрібна — просто відкрийте сторінку та починайте обчислення. Калькулятори доступні 24/7 і працюють у будь-якому сучасному браузері на комп'ютері, планшеті або смартфоні.

Яка точність обчислень калькулятора?

Калькулятор використовує 64-бітну арифметику з плаваючою точкою (стандарт IEEE 754), що забезпечує точність до 15–16 значущих цифр. Для більшості практичних задач цього більш ніж достатньо. Результати округлюються до 4–6 значущих цифр для зручності читання.

📁 Категорія: Інженерія

📚 Читайте також: Системи управління: аналіз та синтез САУ