Калькулятор другої космічної швидкості

Друга космічна швидкість (швидкість втечі, escape velocity) — це мінімальна швидкість, яку потрібно надати об'єкту біля поверхні небесного тіла, щоб він міг подолати його гравітаційне тяжіння і піти у нескінченність. Величина залежить лише від маси та радіуса тіла, від якого відбувається старт, і не залежить від маси самого об'єкта, що втікає.

Даний інструмент реалізує науково обґрунтований підхід до обчислень, що базується на перевірених математичних методах і стандартних формулах. Усі розрахунки виконуються у реальному часі безпосередньо у браузері — без відправки даних на сервер і без необхідності встановлювати додаткове програмне забезпечення. Інтерфейс оптимізований для зручного введення параметрів, відображення результатів з необхідною точністю та покрокових пояснень застосованих формул.

Розрахунок швидкості втечі

Формула та константи

Формула другої космічної швидкості

v = √(2GM / r) G — гравітаційна стала = 6.674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг² M — маса тіла (кг) r — радіус тіла (м) — відстань від центра до точки старту

Виведення з енергетичного балансу

Кінетична енергія = Гравітаційна потенціальна енергія ½ m v² = G M m / r v² = 2GM / r v = √(2GM / r)

Довідкові дані небесних тіл

Земля: M = 5.972 × 10²⁴ кг, r = 6371 км → v ≈ 11.19 км/с Місяць: M = 7.342 × 10²² кг, r = 1737 км → v ≈ 2.38 км/с Марс: M = 6.417 × 10²³ кг, r = 3389.5 км → v ≈ 5.03 км/с Юпітер: M = 1.898 × 10²⁷ кг, r = 69911 км → v ≈ 59.5 км/с

Особливості та обмеження

  • Незалежність від маси об'єкта — швидкість втечі однакова для ракети і піщинки з тієї ж точки старту
  • Без опору атмосфери — формула не враховує аеродинамічне гальмування, тому реальний старт із поверхні планети з атмосферою вимагає додаткової енергії
  • Точка відліку — величина залежить від відстані до центра тіла: на більшій висоті (більший r) швидкість втечі менша
  • Напрямок руху — теоретично не важливий (без атмосфери), але напрямок впливає на реальну траєкторію та витрати палива
  • Не враховує впливу інших тіл — реальна траєкторія в Сонячній системі складніша через гравітацію Сонця та інших планет

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1: Обчисліть другу космічну швидкість для Землі (M = 5,972 × 10²⁴ кг, r = 6371 км).

Розв'язання:

r у метрах: r = 6371 × 1000 = 6 371 000 м

v = √(2 × 6,674×10⁻¹¹ × 5,972×10²⁴ / 6 371 000) = √(1,2517×10⁸)

Відповідь: v ≈ 11 189 м/с ≈ 11,19 км/с — відповідає відомому значенню для Землі.

Приклад 2: Обчисліть другу космічну швидкість для Місяця (M = 7,342 × 10²² кг, r = 1737 км).

Розв'язання:

r у метрах: r = 1 737 000 м

v = √(2 × 6,674×10⁻¹¹ × 7,342×10²² / 1 737 000) = √(5,640×10⁶)

Відповідь: v ≈ 2375 м/с ≈ 2,38 км/с — майже у 5 разів менше, ніж для Землі, через меншу масу й радіус.

Приклад 3: Обчисліть другу космічну швидкість для Марса (M = 6,417 × 10²³ кг, r = 3389,5 км).

Розв'язання:

r у метрах: r = 3 389 500 м

v = √(2 × 6,674×10⁻¹¹ × 6,417×10²³ / 3 389 500) = √(2,527×10⁷)

Відповідь: v ≈ 5027 м/с ≈ 5,03 км/с — приблизно у 2,2 раза менше, ніж для Землі.

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Розрахунок другої космічної швидкості є фундаментальним у ракетодинаміці та астрономії: він визначає мінімальні енергетичні витрати для запуску міжпланетних місій, пояснює, чому легкі небесні тіла (Місяць, астероїди) не можуть утримувати щільну атмосферу, і використовується при плануванні траєкторій космічних апаратів. У навчальному процесі ця формула — класичний приклад застосування закону збереження енергії в гравітаційному полі, який вивчають на курсах загальної фізики та астрономії. Інженери космічної галузі використовують ці розрахунки для оцінки паливних вимог ракет-носіїв, а науковці — для аналізу еволюції атмосфер планет і супутників.

Часті запитання (FAQ)

Що таке друга космічна швидкість (швидкість втечі)?
Друга космічна швидкість (escape velocity) — мінімальна швидкість, яку потрібно надати тілу, щоб воно назавжди подолало гравітаційне тяжіння планети чи іншого небесного тіла і пішло у нескінченність, не повертаючись назад (без урахування опору атмосфери та подальших гравітаційних впливів інших тіл).
Як виводиться формула швидкості втечі?
Формула виводиться із закону збереження енергії. Повна механічна енергія тіла на поверхні дорівнює кінетичній енергії плюс гравітаційна потенціальна енергія: ½mv² − GMm/r. Щоб тіло втекло у нескінченність із нульовою швидкістю, повна енергія повинна дорівнювати нулю: ½mv² = GMm/r. Звідси v = √(2GM/r), де G — гравітаційна стала, M — маса тіла, r — радіус (відстань від центра).
Чим друга космічна швидкість відрізняється від першої (орбітальної)?
Перша космічна швидкість — це швидкість, необхідна для виходу на кругову орбіту навколо тіла (v = √(GM/r)), тіло залишається на орбіті. Друга космічна швидкість дозволяє повністю покинути гравітаційне поле. Друга швидкість завжди у √2 ≈ 1,414 раза більша за першу для тієї ж висоти.
Чому швидкість втечі не залежить від маси тіла, що втікає?
У рівнянні ½mv² = GMm/r маса тіла, що втікає (m), скорочується з обох боків рівняння. Це наслідок принципу еквівалентності — гравітаційне прискорення однакове для всіх тіл незалежно від їхньої маси. Тому і ракета, і піщинка потребують однакової швидкості, щоб покинути гравітаційне поле планети з даної точки.
Якою є друга космічна швидкість для Землі, Місяця та Марса?
Для Землі швидкість втечі з поверхні становить приблизно 11,19 км/с. Для Місяця, який має значно меншу масу і радіус, вона становить лише близько 2,38 км/с — саме тому з поверхні Місяця злетіти значно легше. Для Марса ця величина становить приблизно 5,03 км/с, а для Юпітера — найбільшої планети Сонячної системи — близько 59,5 км/с.

📁 Категорія: Астрономія