🔊 Калькулятор шумопридушення

Результати адаптивної фільтрації

Результати спектрального віднімання

Результати SNR аналізу

Результати медіанної фільтрації

1. Фільтр Вінера (Wiener Filter)

Призначення: Оптимальний лінійний фільтр для мінімізації середньоквадратичної помилки між сигналом і відфільтрованим виходом.

Передавальна функція у частотній області:

H(ω) = S_xx(ω) / [S_xx(ω) + S_nn(ω)]

де:
- S_xx(ω) - спектральна густина потужності сигналу
- S_nn(ω) - спектральна густина потужності шуму

Властивості:

• Мінімізує E[(s(t) - ŝ(t))²] - математичне очікування квадрата помилки
• Оптимальний для стаціонарних гаусових процесів
• Вимагає априорного знання статистики сигналу і шуму
• Лінійний і інваріантний до зсуву у часі (LTI система)

Алгоритм реалізації:

1. Оцінити автокореляційну функцію сигналу R_xx(τ)
2. Оцінити взаємну кореляцію R_xs(τ) між входом і бажаним виходом
3. Розв'язати рівняння Вінера-Хопфа для знаходження імпульсної характеристики h(t)
4. Застосувати згортку: y(t) = ∫ h(τ)·x(t-τ) dτ

2. Адаптивні фільтри

2.1 LMS (Least Mean Squares)

Стохастичний градієнтний алгоритм для адаптації вагових коефіцієнтів:

w(n+1) = w(n) + μ·e(n)·x(n)

де:
- w(n) - вектор вагів розміру M
- μ - коефіцієнт навчання (step size)
- e(n) = d(n) - y(n) - помилка (бажаний вихід мінус фактичний)
- x(n) - вектор вхідних відліків

Умова збіжності: 0 < μ < 2/λ_max, де λ_max - максимальне власне значення автокореляційної матриці R_xx

Переваги: простота, низька обчислювальна складність O(M)

Недоліки: повільна збіжність, чутливість до власних значень R_xx

2.2 NLMS (Normalized LMS)

Нормалізована версія LMS для кращої збіжності:

w(n+1) = w(n) + [μ/(ε + ||x(n)||²)]·e(n)·x(n)

де ε - малий параметр регуляризації для уникнення ділення на нуль (зазвичай 10⁻⁶)

Переваги: незалежна від потужності вхідного сигналу, краща збіжність

2.3 RLS (Recursive Least Squares)

Алгоритм з експоненціальним зваженням:

K(n) = λ⁻¹P(n-1)x(n) / [1 + λ⁻¹x^T(n)P(n-1)x(n)]

w(n) = w(n-1) + K(n)·e(n)

P(n) = λ⁻¹[P(n-1) - K(n)x^T(n)P(n-1)]

де λ - коефіцієнт забування (0.95 - 1.0)

Переваги: швидка збіжність (порядку 2M ітерацій)

Недоліки: висока обчислювальна складність O(M²)

3. Спектральне віднімання (Spectral Subtraction)

Метод придушення адитивного шуму у частотній області:

|Ŝ(ω)|² = |Y(ω)|² - α·|N(ω)|²

де:
- Y(ω) - спектр зашумленого сигналу
- N(ω) - оцінка спектру шуму
- α - коефіцієнт надвіднімання (oversubtraction, зазвичай 1.5-3.0)
- Ŝ(ω) - відновлений сигнал

Алгоритм Short-Time Spectral Subtraction:

1. Розбити сигнал на фрейми з перекриттям (50-75%)
2. Застосувати вікно (Hamming, Hanning) для зменшення витоку спектру
3. FFT кожного фрейму: Y(ω) = FFT{y(n) · w(n)}
4. Оцінити спектр шуму N(ω) з пауз або початкових фреймів
5. Віднімання: |Ŝ(ω)|² = max(|Y(ω)|² - α·|N(ω)|², β·|Y(ω)|²)
6. Зберегти фазу: ∠Ŝ(ω) = ∠Y(ω)
7. Inverse FFT: ŝ(n) = IFFT{Ŝ(ω)}
8. Overlap-add для реконструкції

Проблема музичного шуму (Musical Noise):

Випадкові тональні артефакти через негативні значення після віднімання. Рішення:

• Встановити мінімальний поріг (spectral floor): β = 0.01-0.1
• Згладжування спектру у часі та частоті
• Використання методу Wiener filtering замість жорсткого віднімання

4. SNR (Signal-to-Noise Ratio)

Визначення: Відношення потужності корисного сигналу до потужності шуму.

4.1 SNR за потужністю

SNR_power = 10·log₁₀(P_signal / P_noise) [дБ]

де P = (1/N)Σx²(n) - середня потужність

4.2 SNR за амплітудою

SNR_amplitude = 20·log₁₀(A_signal / A_noise) [дБ]

4.3 Peak SNR (PSNR)

Використовується для зображень та відео:

PSNR = 10·log₁₀(MAX² / MSE) [дБ]

де MAX - максимальне можливе значення пікселя

4.4 Segmental SNR

Для нестаціонарних сигналів (мова, музика):

SNR_seg = (1/M)·Σ_{m=1}^M 10·log₁₀(P_signal,m / P_noise,m)

Інтерпретація якості:

SNR (дБ)	Якість	Застосування
> 40	Відмінна	Студійний запис
30-40	Добра	Hi-Fi аудіо
20-30	Задовільна	Телефонія, радіо
10-20	Погана	Зашумлене середовище
< 10	Дуже погана	Ледь розбірливо

5. Медіанний фільтр

Визначення: Нелінійний фільтр, що замінює кожен відлік медіаною у ковзному вікні.

y(n) = median{x(n-k), ..., x(n), ..., x(n+k)}

де 2k+1 - розмір вікна (завжди непарний для симетрії)

Властивості:

• Edge preservation: зберігає різкі краї та стрибки
• Імпульсний шум: ефективний проти сплесків (salt-and-pepper noise)
• Нелінійність: не застосовується принцип суперпозиції
• Ідемпотентність: повторне застосування не змінює результат для деяких сигналів

Обчислювальна складність:

• Наївна реалізація: O(N·M·log M), де M - розмір вікна
• Гістограмний метод: O(N·M) для великих M
• Huang's algorithm: O(N·M) з меншою константою

Варіанти:

• Weighted Median: зважена медіана з коефіцієнтами для кожної позиції
• Adaptive Median: змінний розмір вікна залежно від локальної статистики
• Recursive Median: використання попередньо відфільтрованих значень

6. Порівняння методів фільтрації

Метод	Тип	Складність	Переваги	Недоліки
Вінер	Лінійний, оптимальний	O(N log N)	Мінімізує MSE, швидкий	Потрібна статистика a priori
LMS	Адаптивний	O(M)	Простий, реальний час	Повільна збіжність
NLMS	Адаптивний	O(M)	Стабільніший за LMS	Все ще повільний
RLS	Адаптивний	O(M²)	Швидка збіжність	Обчислювально дорогий
Spectral Sub.	Частотний	O(N log N)	Ефективний для мови	Музичний шум
Median	Нелінійний	O(N·M log M)	Імпульсний шум, краї	Повільний, не для Gaussian

7. Метрики якості фільтрації

MSE (Mean Squared Error):

MSE = (1/N)·Σ[s(n) - ŝ(n)]²

RMSE (Root MSE):

RMSE = √MSE

MAE (Mean Absolute Error):

MAE = (1/N)·Σ|s(n) - ŝ(n)|

Коефіцієнт кореляції:

ρ = Cov(s, ŝ) / (σ_s · σ_ŝ)

Perceptual Evaluation:

• PESQ (Perceptual Evaluation of Speech Quality): для мовних сигналів
• POLQA (Perceptual Objective Listening Quality Assessment): сучасний стандарт
• STOI (Short-Time Objective Intelligibility): розбірливість мови