Розкладіть будь-яку наперед заданий функцію (прямокутна хвиля, пилоподібна, трикутна тощо) у ряд Фур'є. Обчисліть коефіцієнти a₀, aₙ, bₙ, побудуйте графік наближення та перегляньте повний запис розкладу.
| n | aₙ (косинус) | bₙ (синус) | Амплітуда Cₙ |
|---|
Ряд Фур'є — це представлення будь-якої T-periodичної функції у вигляді суми гармонічних коливань (синусів і косинусів):
де ω₀ = 2π/T — основна кутова частота, n = 1, 2, 3, …
Прямокутна хвиля (амплітуда A):
Тільки непарні гармоніки (bₙ при непарних n = 4A/πn, решта = 0)
Пилоподібна хвиля:
Трикутна хвиля:
Ряд збігається до f(x) в усіх точках безперервності. У точках розриву — до середнього значення ліво- та правобічних границь. Ефект Гіббса: поблизу розривів виникає перевищення ~9% від стрибка навіть при нескінченній кількості гармонік.
Ряд Фур'є — представлення T-periodичної функції у вигляді суми синусів та косинусів: f(x) = a₀/2 + Σ[aₙcos(nω₀x) + bₙsin(nω₀x)]. Фізично: будь-який складний сигнал = сума простих гармонічних коливань.
Через інтеграли: a₀ = (2/T)∫f(x)dx, aₙ = (2/T)∫f(x)cos(nω₀x)dx, bₙ = (2/T)∫f(x)sin(nω₀x)dx на одному повному періоді T. Косинусні коефіцієнти відповідають парній частині функції, синусні — непарній.
Для гладких функцій достатньо 5–10 гармонік. Для функцій з розривами (прямокутна, пилоподібна) потрібні сотні гармонік. Ефект Гіббса (~9% перевищення) залишається навіть при дуже великій кількості гармонік.
Ряд Фур'є — для PERIODИЧНИХ функцій, дає дискретний спектр (набір коефіцієнтів aₙ, bₙ). Перетворення Фур'є — для неперіодичних сигналів, дає неперервний спектр F(ω). БПФ (FFT) — ефективний алгоритм дискретного перетворення Фур'є за O(n log n).
Ефект Гіббса — характерне перевищення частково суми ряду Фур'є (~9% від величини стрибка) поблизу точок розриву функції. Виникає через те, що ряд збігається повільно в точках розриву. Усунути неможливо збільшенням числа гармонік — лише плавним зважуванням (вікна Ланцоша, Феєра).