🎛️ Калькулятор PID-регулятора

Проектування, налаштування та моделювання PID-регуляторів для систем автоматичного керування

🎮 Інтерактивний симулятор PID

1.0

Kp (Пропорційний)

0.5

Ki (Інтегральний)

0.1

Kd (Диференційний)

Kp: 1.0

Ki: 0.5

Kd: 0.1

Уставка (Setpoint):

Тип системи:

Стала часу T (с):

Коеф. підсилення K:

Перехідний процес

Сигнал керування

Час наростання

Час встановлення

Перерегулювання

Стала похибка

IAE

ISE

⚙️ Методи налаштування PID

Коеф. підсилення процесу (Kp):

Стала часу (T), сек:

Запізнення (L), сек:

Критичне підсилення (Ku):

Період коливань (Tu), сек:

Ziegler-Nichols

Класичний метод на основі граничної стійкості або реакції на ступінчасту дію.

Cohen-Coon

Покращений метод для процесів з великим запізненням.

CHR (Chien-Hrones-Reswick)

Оптимізація для мінімального часу встановлення або перерегулювання.

IMC (Internal Model Control)

Метод на основі внутрішньої моделі, один параметр налаштування.

Lambda Tuning

Метод з заданим часом замкненого контуру.

Tyreus-Luyben

Консервативне налаштування для робастності.

Розраховані параметри PID

Kp (пропорційний): -

Ki (інтегральний): -

Kd (диференційний): -

Ti (інтегральна стала часу): -

Td (диференційна стала часу): -

📊 Частотний аналіз

Kp:

Ki:

Kd:

Стала часу процесу T:

Діаграма Боде (Амплітуда)

Діаграма Боде (Фаза)

Діаграма Найквіста

Годограф кореневий

Запас стійкості по амплітуді: -

Запас стійкості по фазі: -

Частота зрізу: -

Смуга пропускання: -

💻 Дискретний PID-регулятор

Kp:

Ki:

Kd:

Період дискретизації Ts (с):

Метод дискретизації:

Anti-Windup:

Дискретні коефіцієнти

a₀: -

a₁: -

a₂: -

// Дискретний PID-регулятор
class PIDController {
    constructor(Kp, Ki, Kd, Ts) {
        this.Kp = Kp;
        this.Ki = Ki;
        this.Kd = Kd;
        this.Ts = Ts;
        this.integral = 0;
        this.prevError = 0;
        this.outputMin = -100;
        this.outputMax = 100;
    }
    compute(setpoint, measurement) {
        const error = setpoint - measurement;
        // Пропорційна складова
        const P = this.Kp * error;
        // Інтегральна складова
        this.integral += error * this.Ts;
        const I = this.Ki * this.integral;
        // Диференційна складова
        const D = this.Kd * (error - this.prevError) / this.Ts;
        this.prevError = error;
        // Вихід з обмеженням
        let output = P + I + D;
        output = Math.max(this.outputMin, Math.min(this.outputMax, output));
        return output;
    }
}

📚 Теорія PID-керування

1. Основи PID-регулятора

PID-регулятор (Proportional-Integral-Derivative) — найпоширеніший тип регулятора в системах автоматичного керування. Він обчислює керуючий вплив на основі похибки між уставкою та фактичним значенням.

2. Математична модель

u(t) = Kp × e(t) + Ki × ∫e(τ)dτ + Kd × de(t)/dt

або в операторній формі:

G(s) = Kp + Ki/s + Kd×s = Kp(1 + 1/(Ti×s) + Td×s)

де:
e(t) = r(t) - y(t) — похибка
r(t) — уставка
y(t) — фактичне значення
Ti = Kp/Ki — інтегральна стала часу
Td = Kd/Kp — диференційна стала часу

3. Компоненти PID

3.1 Пропорційна складова (P)

Реагує на поточну похибку. Збільшення Kp:

✅ Зменшує час наростання
✅ Зменшує сталу похибку
⚠️ Збільшує перерегулювання
⚠️ Може викликати коливання

3.2 Інтегральна складова (I)

Накопичує похибку в часі. Збільшення Ki:

✅ Усуває сталу похибку
⚠️ Збільшує час встановлення
⚠️ Збільшує перерегулювання
⚠️ Може викликати "інтегральне насичення" (windup)

3.3 Диференційна складова (D)

Реагує на швидкість зміни похибки. Збільшення Kd:

✅ Зменшує перерегулювання
✅ Покращує стабільність
⚠️ Підсилює шум
⚠️ Може уповільнити відгук

4. Методи налаштування

4.1 Ziegler-Nichols (реакція на ступінь)

Для процесу G(s) = K × exp(-Ls) / (Ts + 1):

P: Kp = T / (K × L)
PI: Kp = 0.9T / (K × L), Ti = 3.33L
PID: Kp = 1.2T / (K × L), Ti = 2L, Td = 0.5L

4.2 Ziegler-Nichols (критичне підсилення)

Визначення Ku та Tu при граничній стійкості:

P: Kp = 0.5Ku
PI: Kp = 0.45Ku, Ti = Tu/1.2
PID: Kp = 0.6Ku, Ti = Tu/2, Td = Tu/8

4.3 IMC (Internal Model Control)

Для процесу першого порядку з запізненням:

Kp = T / (K × (λ + L))
Ti = T
Td = 0

де λ — бажана стала часу замкненого контуру

5. Дискретизація PID

5.1 Позиційна форма

u[k] = Kp × e[k] + Ki × Ts × Σe[i] + Kd × (e[k] - e[k-1]) / Ts

5.2 Швидкісна (інкрементна) форма

Δu[k] = a₀×e[k] + a₁×e[k-1] + a₂×e[k-2]

де:
a₀ = Kp × (1 + Ts/Ti + Td/Ts)
a₁ = -Kp × (1 + 2Td/Ts)
a₂ = Kp × Td/Ts

6. Anti-Windup

Методи запобігання насиченню інтегратора:

Clamping: Зупинка інтегрування при насиченні виходу
Back-calculation: Корекція інтегратора пропорційно різниці виходу
Conditional integration: Інтегрування лише при малій похибці

7. Практичні поради

Починайте з P-регулятора, потім додавайте I та D
Використовуйте фільтр на D-складовій для придушення шуму
Завжди реалізуйте anti-windup
Обмежуйте вихід регулятора
Період дискретизації: Ts ≤ 0.1 × найменшої сталої часу системи
Тестуйте на збурення, не тільки на зміну уставки

8. Критерії якості

Критерій	Формула	Опис
ISE	∫e²(t)dt	Інтеграл квадрата похибки
IAE	∫\|e(t)\|dt	Інтеграл модуля похибки
ITAE	∫t×\|e(t)\|dt	Зважений за часом IAE
ITSE	∫t×e²(t)dt	Зважений за часом ISE

9. Застосування

Промисловість: Регулювання температури, тиску, рівня, витрати
Автомобілі: Круїз-контроль, ABS, системи стабілізації
Робототехніка: Управління положенням, швидкістю
HVAC: Кліматичні системи
Авіація: Автопілоти, системи стабілізації
Дрони: Контроль польоту, стабілізація

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Інструменти даного типу широко застосовуються у навчальній та дослідницькій діяльності. Вони дозволяють швидко отримувати точні числові результати, перевіряти аналітичні розрахунки та моделювати різноманітні сценарії. Використання онлайн-калькуляторів значно прискорює роботу науковців, інженерів, студентів та спеціалістів-практиків, які щодня стикаються з відповідними обчислювальними задачами.

Часті запитання (FAQ)

Що таке хімічна рівновага?

Хімічна рівновага — стан системи, при якому швидкості прямої та зворотної реакцій рівні, і склад системи не змінюється з часом (в умовах незмінних зовнішніх умов). Рівновага описується константою рівноваги Kc або Kp. За принципом Ле-Шательє, зміна умов (температура, тиск, концентрація) зміщує рівновагу в бік, що компенсує цю зміну.

Як відрізнити кислоту від основи?

За теорією Бренстеда-Лоурі: кислота — донор протона (H⁺), основа — акцептор протона. За Арреніусом: кислота дисоціює з утворенням H⁺, основа — OH⁻. Кількісно кислотність оцінюється показником pH: pH < 7 — кисле середовище, pH = 7 — нейтральне, pH > 7 — лужне. Визначають за допомогою індикаторів або pH-метра.

Як користуватися цим калькулятором?

Введіть необхідні значення у відповідні поля та натисніть кнопку обчислення. Результат відобразиться одразу. Калькулятор підтримує десяткові числа та від'ємні значення — для введення від'ємного числа використовуйте знак мінус. Усі розрахунки виконуються онлайн без встановлення додаткового програмного забезпечення.

Чи можна використовувати калькулятор безкоштовно?

Так, усі калькулятори на сайті calculator.party повністю безкоштовні. Жодна реєстрація не потрібна — просто відкрийте сторінку та починайте обчислення. Калькулятори доступні 24/7 і працюють у будь-якому сучасному браузері на комп'ютері, планшеті або смартфоні.

Яка точність обчислень калькулятора?

Калькулятор використовує 64-бітну арифметику з плаваючою точкою (стандарт IEEE 754), що забезпечує точність до 15–16 значущих цифр. Для більшості практичних задач цього більш ніж достатньо. Результати округлюються до 4–6 значущих цифр для зручності читання.

📁 Категорія: Інженерія

📚 Читайте також: PID-регулятор: мозок систем управління