📊 Калькулятор спектрального аналізу

FFT, спектрограми, гармонічний аналіз та частотна фільтрація сигналів

📈 Швидке перетворення Фур'є (FFT)

Аналіз частотного складу сигналу за допомогою FFT.

Тестовий сигнал:

Віконна функція:

Часовий сигнал:

Амплітудний спектр:

Фазовий спектр:

🌈 Спектрограма (STFT)

Аналіз зміни частотного складу сигналу в часі.

Часовий сигнал:

🎵 Гармонічний аналіз

Розкладання періодичного сигналу в ряд Фур'є.

Амплітудний спектр:

🔧 Частотна фільтрація

Розрахунок та застосування цифрових фільтрів.

Апроксимація:

АЧХ (Amplitude Response):

ФЧХ (Phase Response):

Імпульсна характеристика:

🎹 Синтез сигналів

Створення сигналів з заданим частотним складом.

Компоненти сигналу:

Синтезований сигнал:

Спектр:

📚 Теорія спектрального аналізу

1. Перетворення Фур'є

Перетворення Фур'є розкладає сигнал на суму синусоїдальних компонент з різними частотами, амплітудами та фазами.

Неперервне перетворення Фур'є:
X(f) = ∫_{-∞}^{∞} x(t) e^{-j2πft} dt

Дискретне перетворення Фур'є (DFT):
X[k] = Σ_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2πkn/N}

де k = 0, 1, ..., N-1

2. Швидке перетворення Фур'є (FFT)

FFT — ефективний алгоритм обчислення DFT зі складністю O(N log N) замість O(N²) для прямого обчислення.

Важливі параметри:

  • Частота дискретизації fs: визначає максимальну частоту (fs/2 — частота Найквіста)
  • Кількість точок N: визначає частотну роздільну здатність Δf = fs/N
  • Тривалість T = N/fs: чим довший запис, тим краща роздільна здатність

3. Віконні функції

Віконні функції зменшують витік спектру (spectral leakage), який виникає через обмежену тривалість сигналу.

Вікно Головний пелюсток Бічні пелюстки Застосування
Прямокутне Найвужчий -13 дБ Імпульсні сигнали
Ханна Середній -31 дБ Загальне застосування
Хеммінга Середній -42 дБ Мовні сигнали
Блекмана Широкий -58 дБ Точний аналіз

4. Спектрограма (STFT)

STFT: X(m,k) = Σ_{n=0}^{L-1} x[n+mH] w[n] e^{-j2πkn/L}

де m — номер кадру
H — зсув (hop size)
L — довжина вікна
w[n] — віконна функція

Компроміс розділення:

  • Короткі вікна → добре часове, погане частотне розділення
  • Довгі вікна → погане часове, добре частотне розділення
  • Принцип невизначеності: Δt × Δf ≥ 1/(4π)

5. Ряд Фур'є

Періодичний сигнал x(t) з періодом T:
x(t) = a₀/2 + Σ_{n=1}^{∞} [aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]

де ω₀ = 2π/T — основна кутова частота
aₙ = (2/T)∫x(t)cos(nω₀t)dt
bₙ = (2/T)∫x(t)sin(nω₀t)dt

Типові сигнали:

Сигнал Гармоніки Амплітуда n-ї
Прямокутний Непарні (1, 3, 5, ...) 4/(nπ)
Пилкоподібний Всі 2/(nπ)
Трикутний Непарні 8/(n²π²)

6. Цифрові фільтри

IIR фільтр (рекурсивний):
y[n] = Σbₖx[n-k] - Σaₘy[n-m]

FIR фільтр (нерекурсивний):
y[n] = Σbₖx[n-k]

Типи фільтрів:

  • Низькочастотний (LPF): пропускає f < fc
  • Високочастотний (HPF): пропускає f > fc
  • Смуговий (BPF): пропускає fc1 < f < fc2
  • Режекторний (BSF): затримує fc1 < f < fc2

7. THD (Total Harmonic Distortion)

THD = √(Σ_{n=2}^{∞} Vₙ²) / V₁ × 100%

де V₁ — амплітуда основної гармоніки
Vₙ — амплітуда n-ї гармоніки

8. Практичні рекомендації

  • Вибирайте fs ≥ 2 × fmax (теорема Котельникова-Найквіста)
  • Використовуйте N = 2^k для ефективності FFT
  • Для стаціонарних сигналів — усереднюйте кілька спектрів
  • Для нестаціонарних — використовуйте спектрограму
  • Віконна функція Ханна — хороший компроміс

Практичне значення та контекст

Коротка довідка

Снелль відкрив закон заломлення (1621), Ньютон розклав світло у спектр. Максвелл довів електромагнітну природу світла (1865).

Де застосовується

Медицина: мікроскопія, лазерна хірургія, офтальмологія. Телекомунікації: оптоволоконні лінії зв'язку. Астрономія: телескопи, спектроскопія зірок. Фотоніка: лазери, оптичні процесори.

Часті запитання (FAQ)

Що таке хімічна рівновага?
Хімічна рівновага — стан системи, при якому швидкості прямої та зворотної реакцій рівні, і склад системи не змінюється з часом (в умовах незмінних зовнішніх умов). Рівновага описується константою рівноваги Kc або Kp. За принципом Ле-Шательє, зміна умов (температура, тиск, концентрація) зміщує рівновагу в бік, що компенсує цю зміну.
Як відрізнити кислоту від основи?
За теорією Бренстеда-Лоурі: кислота — донор протона (H⁺), основа — акцептор протона. За Арреніусом: кислота дисоціює з утворенням H⁺, основа — OH⁻. Кількісно кислотність оцінюється показником pH: pH < 7 — кисле середовище, pH = 7 — нейтральне, pH > 7 — лужне. Визначають за допомогою індикаторів або pH-метра.
Як користуватися цим калькулятором?
Введіть необхідні значення у відповідні поля та натисніть кнопку обчислення. Результат відобразиться одразу. Калькулятор підтримує десяткові числа та від'ємні значення — для введення від'ємного числа використовуйте знак мінус. Усі розрахунки виконуються онлайн без встановлення додаткового програмного забезпечення.
Чи можна використовувати калькулятор безкоштовно?
Так, усі калькулятори на сайті calculator.party повністю безкоштовні. Жодна реєстрація не потрібна — просто відкрийте сторінку та починайте обчислення. Калькулятори доступні 24/7 і працюють у будь-якому сучасному браузері на комп'ютері, планшеті або смартфоні.
Яка точність обчислень калькулятора?
Калькулятор використовує 64-бітну арифметику з плаваючою точкою (стандарт IEEE 754), що забезпечує точність до 15–16 значущих цифр. Для більшості практичних задач цього більш ніж достатньо. Результати округлюються до 4–6 значущих цифр для зручності читання.

📁 Категорія: Фізика