Математика · Курс

Диференціальні рівняння

Від рівнянь зі змінними, що розділяються, до перетворення Лапласа та систем ОДУ. Повний університетський курс з теорією, методами і прикладами.

⏱ ~6 годин 📚 7 модулів 🎓 Рівень: I–II курс 🆓 Безкоштовно

📋 Зміст курсу

Вступ. Базові поняття та класифікація
ОДУ 1-го порядку: рівняння з відокремленими змінними
Лінійні ОДУ 1-го порядку. Рівняння Бернуллі
Однорідні та точні рівняння
ОДУ 2-го порядку: лінійні з постійними коефіцієнтами
Метод варіації параметрів. Незбурена задача Коші
Перетворення Лапласа. Системи ОДУ

Модуль 1

Вступ. Базові поняття та класифікація

Диференціальне рівняння (ДР) — рівняння, що містить невідому функцію та її похідні.

Загальний вигляд: F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0
де y = y(x) — невідома функція

Приклади:
  y' = 2x            (ОДУ 1-го порядку, лінійне)
  y'' + 4y = 0       (ОДУ 2-го порядку, однорідне)
  y' = xy            (ОДУ 1-го порядку, з відокремленими змінними)
  y'' − y' − 6y = eˣ (ОДУ 2-го порядку, неоднорідне)
                    

Класифікація

Порядок — найвища похідна у рівнянні
Ступінь — найвищий степінь старшої похідної
Лінійність — функція і похідні входять у першому степені линійно
Однорідність — чи рівна права частина нулю

Загальний і частинний розв'язки

Загальний розв'язок містить C довільних сталих (для ОДУ n-го порядку — n сталих)
Частинний розв'язок — конкретні значення C з початкових умов
Особливий розв'язок — не охоплений загальним (напр., y = 0 для y' = y²)
                    

Приклад: перевірка розв'язку

Перевірити, що y = Ce²ˣ є розв'язком y' = 2y

Розв'язання: y' = 2Ce²ˣ = 2(Ce²ˣ) = 2y ✓

Модуль 2

ОДУ 1-го порядку: рівняння з відокремленими змінними

Рівняння виду g(y)dy = f(x)dx — інтегруємо обидві частини окремо.

Стандартна форма: dy/dx = f(x)/g(y)  або  g(y)dy = f(x)dx
Метод: розділити змінні → інтегрувати обидві частини

∫g(y) dy = ∫f(x) dx + C
                    

Приклад 1: популяційний ріст

Розв'язати: dN/dt = kN, N(0) = N₀

dN/N = k dt → ∫dN/N = ∫k dt → ln|N| = kt + C₁

N = Ae^(kt), A = e^(C₁)

З початковою умовою: N(0) = A = N₀ → N(t) = N₀ · e^(kt)

Застосування: ріст бактерій, радіоактивний розпад (k < 0)

Приклад 2: охолодження за Ньютоном

dT/dt = −k(T − Tₐ), де Tₐ — температура навколишнього середовища

Підстановка u = T − Tₐ: du/dt = −ku

u = Ce^(−kt) → T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)e^(−kt)

Задача Коші для ОДУ 1-го порядку

y' = f(x, y),  y(x₀) = y₀

Теорема Пікара: якщо f і ∂f/∂y неперервні в точці (x₀, y₀),
то существує єдиний розв'язок у деякому околі x₀.
                    

Модуль 3

Лінійні ОДУ 1-го порядку. Рівняння Бернуллі

Лінійне ОДУ 1-го порядку:  y' + P(x)y = Q(x)

Інтегруючий множник: μ(x) = e^∫P(x)dx

Загальний розв'язок:
  y = (1/μ) · [∫μ·Q(x)dx + C]

Приклад: лінійне ОДУ

Розв'язати: y' + (2/x)y = x², x > 0

μ = e^∫(2/x)dx = e^(2ln x) = x²

d(x²y)/dx = x⁴ → x²y = x⁵/5 + C

y = x³/5 + C/x²

Рівняння Бернуллі

y' + P(x)y = Q(x)·yⁿ,  n ≠ 0, 1

Заміна: z = y^(1−n)  →  z' + (1−n)P(x)z = (1−n)Q(x)  (лінійне!)

Приклад: рівняння Бернуллі

y' − y = xy³

n=3, z = y^(−2), z' = −2y^(−3)y'

z' + 2z = −2x → μ = e^(2x)

d(e^(2x)z)/dx = −2xe^(2x) → e^(2x)z = −xe^(2x) + e^(2x)/2 + C

z = y^(−2) = −x + 1/2 + Ce^(−2x)

Модуль 4

Однорідні та точні диференціальні рівняння

Однорідні рівняння 1-го порядку

Форма: y' = f(y/x)
Заміна: v = y/x, тобто y = vx, y' = v + xv'

→  v + xv' = f(v)  →  xv' = f(v) − v  (з відокремленими змінними)
                    

Приклад: однорідне рівняння

Розв'язати: y' = (x + y)/x = 1 + y/x

v = y/x → v + xv' = 1 + v → xv' = 1 → v = ln|x| + C

y = x(ln|x| + C)

Точні рівняння

М(x,y)dx + N(x,y)dy = 0  — точне, якщо:
  ∂M/∂y = ∂N/∂x

Розв'язок: dF = 0, де:
  F(x,y) = ∫M dx + φ(y)
  φ'(y) = N − ∂/∂y(∫M dx)
  Відповідь: F(x,y) = C
                    

Приклад: точне рівняння

(2xy + y²)dx + (x² + 2xy)dy = 0

M = 2xy+y², N = x²+2xy

∂M/∂y = 2x+2y = ∂N/∂x ✓ — точне

F = ∫M dx = x²y + xy² + φ(y)

∂F/∂y = x² + 2xy + φ'(y) = N = x²+2xy → φ'(y) = 0 → φ = C₁

F = x²y + xy² = C

Модуль 5

ОДУ 2-го порядку: лінійні з постійними коефіцієнтами

Однорідне рівняння

ay'' + by' + cy = 0

Характеристичне рівняння: aλ² + bλ + c = 0
Дискримінант: D = b² − 4ac

Випадки:
  D > 0: два дійсних λ₁,λ₂ → y = C₁e^(λ₁x) + C₂e^(λ₂x)
  D = 0: λ₁ = λ₂ = λ    → y = (C₁ + C₂x)e^(λx)
  D < 0: λ = α ± βi      → y = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))
                    

Приклад D < 0: гармонічний осцилятор

y'' + 4y = 0

λ² + 4 = 0 → λ = ±2i (α=0, β=2)

y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x) — незатухаючі коливання

Приклад D > 0: затухаючий процес

y'' − 5y' + 6y = 0

λ² − 5λ + 6 = 0 → λ₁ = 2, λ₂ = 3

y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)

Неоднорідне рівняння: метод невизначених коефіцієнтів

ay'' + by' + cy = f(x)

Загальний розв'язок: y = y_h + y_p
  y_h — загальний розв'язок однорідного
  y_p — частинний розв'язок неоднорідного

Структура y_p:
  f = Pₙ(x)e^(αx):    y_p = x^s · Qₙ(x)e^(αx)
  f = e^(αx)sin/cos:  y_p = x^s · e^(αx)(A cos βx + B sin βx)
де s = кратність α як кореня хар. рівняння
                    

Приклад: примусові коливання

y'' + 4y = 3cos(x)

y_h = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)

y_p = A·cos(x) + B·sin(x) (α=0, β=1 ≠ 2 → s=0)

y_p'' + 4y_p: −cos(x) + 4cos(x) = 3cos(x) → 3A = 3 → A=1, B=0

y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x) + cos(x)

Модуль 6

Метод варіації параметрів. Задача Коші

Метод варіації параметрів (Лагранж)

Нехай y_h = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) — загальний розв'язок однорідного.
Шукаємо y_p = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂, де Cᵢ — функції.

Система для C₁', C₂' (із умови C₁'y₁ + C₂'y₂ = 0):
  C₁'y₁ + C₂'y₂ = 0
  C₁'y₁' + C₂'y₂' = f(x)/a

Визначник Вронського: W = y₁y₂' − y₂y₁'
  C₁'(x) = −y₂(x)f(x)/(a·W(x))
  C₂'(x) =  y₁(x)f(x)/(a·W(x))
                    

Метод Ейлера (числове розв'язання)

Задача Коші: y' = f(x,y), y(x₀) = y₀

Метод Ейлера (1-й порядок точності):
  y_{n+1} = yₙ + h · f(xₙ, yₙ)
  xₙ = x₀ + nh,  h — крок

Метод Рунге-Кутта 4-го порядку (RK4 — практичний стандарт):
  k₁ = h · f(xₙ, yₙ)
  k₂ = h · f(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2)
  k₃ = h · f(xₙ + h/2, yₙ + k₂/2)
  k₄ = h · f(xₙ + h, yₙ + k₃)
  y_{n+1} = yₙ + (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6
                    

Модуль 7

Перетворення Лапласа. Системи ОДУ

Перетворення Лапласа

ℒ{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^(−st) dt

Основні пари:
  ℒ{1}     = 1/s
  ℒ{t^n}   = n!/s^(n+1)
  ℒ{e^(at)}= 1/(s−a)
  ℒ{sin(ωt)}= ω/(s²+ω²)
  ℒ{cos(ωt)}= s/(s²+ω²)

Властивості:
  ℒ{f'(t)} = sF(s) − f(0)
  ℒ{f''(t)}= s²F(s) − sf(0) − f'(0)
  ℒ{f*g}   = F(s)·G(s)  (теорема згортки)
                    

Приклад: розв'язання ОДУ через перетворення Лапласа

y'' + 3y' + 2y = e^(−t), y(0) = 0, y'(0) = 1

[s²Y − 1] + 3sY + 2Y = 1/(s+1)

Y(s²+3s+2) = 1 + 1/(s+1) = (s+2)/(s+1)

Y = (s+2)/[(s+1)(s+1)(s+2)] = 1/(s+1)²

y = te^(−t) (з таблиці: ℒ⁻¹{1/(s+a)²} = te^(−at))

Системи ОДУ

dx/dt = a₁₁x + a₁₂y
dy/dt = a₂₁x + a₂₂y

Матричний запис: X' = AX

Розв'язок через власні значення матриці A:
1. det(A − λI) = 0 → λ₁, λ₂
2. Для кожного λᵢ знайти власний вектор vᵢ
3. Загальний розв'язок: X = C₁v₁e^(λ₁t) + C₂v₂e^(λ₂t)
                    

Застосування диференціальних рівнянь

МеханікаРівняння Ньютона F=ma → ОДУ 2-го порядку для координати

ЕлектротехнікаLC-контур: L·d²q/dt² + q/C = 0

ХіміяКінетика реакцій: d[A]/dt = −k[A]^n

БіологіяМодель Лотки-Вольтерра (хижак-жертва): система 2-х ОДУ

ТеплопровідністьРівняння теплопровідності: ∂T/∂t = α·∂²T/∂x²

ФінансиБезперервний нарахунок: dP/dt = rP → P = P₀·e^(rt)

Практикуйтесь на калькуляторах

Закріпіть теорію розрахунками на наших інструментах

Рекурентні послідовності Ланцюгові дроби

Про цей курс

Цей навчальний матеріал систематично розкриває тему від основ до просунутих концепцій. Курс орієнтований на самостійне навчання з практичним акцентом.

Курс охоплює: границі і неперервність, диференціальне числення (похідна, диференціал), інтегральне числення (невизначений і визначений інтеграл), ряди та рівняння.

План навчання

Проходьте матеріал послідовно, не пропускаючи розділів. Виконуйте практичні вправи після кожного блоку. Повертайтеся до складних частин після засвоєння наступних розділів.

Часті запитання (FAQ)

Що вивчається в курсі з диференціальні рівняння?

Курс 'Диференціальні рівняння' систематично охоплює тему від основ до просунутих концепцій. Зміст включає теоретичні блоки, формули з поясненнями, практичні приклади та задачі для закріплення. Матеріал структурований за принципом наростаючої складності.

Який попередній рівень знань потрібен для курсу з диференціальні рівняння?

Курс 'Диференціальні рівняння' розрахований на студентів, що вже мають базову математичну підготовку. Якщо ви лише починаєте — рекомендуємо спочатку ознайомитися зі вступними матеріалами у відповідних категоріях calculator.party.

Скільки часу займає проходження курсу з диференціальні рівняння?

Орієнтовний час для проходження курсу 'Диференціальні рівняння': 4–8 годин для базового рівня, 10–20 годин для повного засвоєння разом із задачами. Рекомендуємо розбити на сесії по 45–60 хвилин з перервами між ними.

Чи є практичні завдання в курсі з диференціальні рівняння?

Так, курс 'Диференціальні рівняння' включає практичні блоки: задачі для розв'язання, тести для перевірки розуміння та посилання на онлайн-калькулятори calculator.party для чисельних прикладів. Теорія завжди підкріплена практикою.

Яка структура і порядок вивчення матеріалів курсу з диференціальні рівняння?

Рекомендований порядок для 'Диференціальні рівняння': (1) теорія → (2) шпаргалка з формулами → (3) тренажер вправ → (4) розв'язані задачі → (5) підсумковий тест. Такий шлях забезпечує глибоке і стійке засвоєння матеріалу.