📖 Теоретичний матеріал
Що таке диференційне рівняння (ДР)
Диференційне рівняння — рівняння, що містить невідому функцію та її похідні.
Порядок ДР — найвищий порядок похідної. Найчастіше зустрічаються рівняння 1-го порядку.
Метод розділення змінних
Якщо рівняння має вигляд y' = f(x)·g(y), то:
📘 Приклад
y' = 2xy → dy/y = 2x·dx → ln|y| = x² + C → y = Ae^(x²)
Однорідні рівняння 1-го порядку
Вигляд y' = f(y/x). Заміна u = y/x (y = ux, y' = u + xu'):
Лінійні рівняння 1-го порядку
Вигляд: y' + P(x)·y = Q(x)
📘 Приклад
y' + y = eˣ. P = 1, Q = eˣ, ∫P dx = x
y = e⁻ˣ·(∫eˣ·eˣ dx + C) = e⁻ˣ·(e²ˣ/2 + C) = eˣ/2 + Ce⁻ˣ
Рівняння Бернуллі
Заміна z = y^(1-n) зводить до лінійного.
Задача Коші (початкова умова)
До загального розв'язку y = y(x, C) підставляємо x₀, y₀ для знаходження C.
ДР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами
Характеристичне рівняння: k² + pk + q = 0, коренями k₁, k₂ визначається вигляд розв'язку.
| k₁ ≠ k₂ (дійсні) | y = C₁e^(k₁x) + C₂e^(k₂x) |
| k₁ = k₂ = k | y = (C₁ + C₂x)e^(kx) |
| k = α ± βi | y = e^(αx)(C₁cos βx + C₂sin βx) |
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Вправи з математичного аналізу розвивають навички: обчислення похідних складних функцій, знаходження первісних, обчислення визначених і невизначених інтегралів, дослідження функцій на екстремум.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.