📖 Теоретичний матеріал
Означення границі
Границя функції f(x) при x→a дорівнює L, якщо при наближенні x до a значення f(x) необмежено наближається до L:
Основні властивості границь
lim(f · g) = lim f · lim g
lim(f / g) = lim f / lim g, якщо lim g ≠ 0
lim(c · f) = c · lim f
Перший чудовий ліміт
Наслідки: lim[x→0] tg(x)/x = 1; lim[x→0] arcsin(x)/x = 1; lim[x→0] (1-cos x)/x² = 1/2
Другий чудовий ліміт
Наслідок: lim[x→0] (1 + x)^(1/x) = e
Невизначеності та способи розкриття
| 0/0 | Скорочення або правило Лопіталя |
| ∞/∞ | Ділення на старший степінь або Лопіталь |
| 0 · ∞ | Перетворення до 0/0 або ∞/∞ |
| ∞ − ∞ | Приведення до спільного знаменника |
| 1^∞, 0⁰, ∞⁰ | Логарифмування: e^(lim ln f) |
Правило Лопіталя
Якщо lim дає невизначеність 0/0 або ∞/∞:
📘 Приклад: Правило Лопіталя
lim[x→0] (eˣ − 1)/x → 0/0
= lim[x→0] eˣ/1 = e⁰ = 1
Границі раціональних функцій при x→∞
Ділимо чисельник і знаменник на x у найвищому степені знаменника:
• 0, якщо n < m
• aₙ/bₘ, якщо n = m
• ±∞, якщо n > m
Неперервність функції
Функція неперервна у точці a, якщо:
Точки розриву: 1-го роду (скінченні ліворуч і праворуч), 2-го роду (нескінченні або не існують).
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Вправи з математичного аналізу розвивають навички: обчислення похідних складних функцій, знаходження первісних, обчислення визначених і невизначених інтегралів, дослідження функцій на екстремум.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.