📖 Теоретичний матеріал
Лінійне рівняння
Лінійне рівняння з однією змінною має вигляд:
де a ≠ 0. Розв'язок: x = -b/a
Загальний алгоритм розв'язування
1. Перенесіть всі члени з невідомою в ліву частину, числа — в праву.
2. Зведіть подібні доданки.
3. Поділіть обидві частини на коефіцієнт при невідомій.
Приклад
3x = 14 - 5
3x = 9
x = 3
Лінійна функція
Графіком лінійної функції y = kx + b є пряма лінія, де k — кутовий коефіцієнт, b — вільний член.
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
📘 Приклад 1: Розв'язування рівняння з дужками
Розв'язати: 2(x - 3) + 5 = 3(x + 1)
2x - 6 + 5 = 3x + 3
2x - 1 = 3x + 3
2x - 3x = 3 + 1
-x = 4, отже x = -4
Перевірка: 2(-4 - 3) + 5 = 2(-7) + 5 = -9; 3(-4 + 1) = 3(-3) = -9 ✅
📘 Приклад 2: Рівняння з дробами
Розв'язати: (x + 2)/3 - (x - 1)/4 = 1
НСК(3, 4) = 12. Помножимо обидві частини на 12:
4(x + 2) - 3(x - 1) = 12
4x + 8 - 3x + 3 = 12
x + 11 = 12
x = 1
Особливі випадки
Не кожне рівняння має єдиний розв'язок:
0·x = 5 → розв'язків немає (протиріччя)
📘 Приклад 3: Рівняння без розв'язків
2(x + 1) = 2x + 5
2x + 2 = 2x + 5
2 = 5 — хибне твердження
Рівняння не має розв'язків.
Лінійні нерівності
Лінійні нерівності розв'язуються аналогічно рівнянням, але при множенні/діленні на від'ємне число знак нерівності змінюється!
ax + b > 0, a < 0 → x < -b/a (знак змінився!)
📘 Приклад 4: Лінійна нерівність
Розв'язати: -3x + 9 ≥ 0
-3x ≥ -9
x ≤ 3 (бо ділимо на -3, знак змінюється)
Відповідь: x ∈ (-∞; 3]
Рівняння з модулем
Модуль числа |a| — це відстань від числа до нуля. Для розв'язання рівнянь з модулем використовується означення:
f(x) = a або f(x) = -a
📘 Приклад 5: Рівняння з модулем
Розв'язати: |2x - 5| = 3
Випадок 1: 2x - 5 = 3 → 2x = 8 → x = 4
Випадок 2: 2x - 5 = -3 → 2x = 2 → x = 1
Відповідь: x = 1 або x = 4
Властивості лінійної функції y = kx + b
| k > 0 | Функція зростає |
| k < 0 | Функція спадає |
| k = 0 | Стала функція (горизонтальна пряма) |
| b = 0 | Графік проходить через початок координат |
| k₁ = k₂ | Прямі паралельні |
| k₁ · k₂ = -1 | Прямі перпендикулярні |
Рівняння прямої
Різні форми запису рівняння прямої:
ax + by + c = 0 — загальне рівняння
x/a + y/b = 1 — у відрізках
(y - y₁) = k(x - x₁) — через точку з нахилом
Текстові задачі з лінійними рівняннями
📘 Приклад 6: Задача на рух
Два потяги виїхали назустріч з відстанню 450 км. Один їде 60 км/год, інший — 90 км/год. Через скільки годин вони зустрінуться?
Рівняння: 60t + 90t = 450
150t = 450
t = 3 години
📘 Приклад 7: Задача на суміші
Скільки літрів 30% розчину додати до 5 л 10% розчину, щоб отримати 20% розчин?
Рівняння: 0.3x + 0.1 × 5 = 0.2(x + 5)
0.3x + 0.5 = 0.2x + 1
0.1x = 0.5
x = 5 літрів
Типові помилки
• Забувають змінити знак нерівності при множенні/діленні на від'ємне число
• Неправильно розкривають дужки (забувають помножити на кожен доданок)
• Помилки при перенесенні членів через знак рівності (забувають змінити знак)
• При роботі з дробами забувають знайти НСК знаменників
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.