📖 Теоретичний матеріал
Означення матриці
Матриця — це прямокутна таблиця чисел, розташованих у рядках і стовпцях. Матриця розміру m×n має m рядків та n стовпців.
| a₂₁ a₂₂ a₂₃ |
Додавання матриць
Додавати можна лише матриці однакового розміру. Результуюча матриця має той самий розмір:
Множення матриці на число
Кожен елемент матриці множиться на це число:
Множення матриць
Добуток матриць A(m×n) і B(n×p) дає матрицю C(m×p):
Важливо: кількість стовпців першої матриці повинна дорівнювати кількості рядків другої!
Детермінант (визначник)
Для квадратної матриці 2×2:
| c d |
Для матриці 3×3 використовується правило Саррюса або розклад за рядком/стовпцем.
Типи матриць
| Квадратна | Кількість рядків = кількості стовпців (n×n) |
| Одинична | Діагональні елементи = 1, решта = 0 |
| Діагональна | Недіагональні елементи = 0 |
| Нульова | Всі елементи = 0 |
| Трикутна | Елементи вище/нижче діагоналі = 0 |
| Транспонована | Aᵀ: рядки і стовпці міняються місцями |
Властивості операцій
(A + B)·C = A·C + B·C (дистрибутивність)
A·(B·C) = (A·B)·C (асоціативність)
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ (транспонування добутку)
Увага: Множення матриць не комутативне: A·B ≠ B·A в загальному випадку!
📘 Приклад 1: Множення матриць 2×2
A = |1 2|, B = |5 6|
|3 4| |7 8|
C = A·B:
c₁₁ = 1×5 + 2×7 = 19, c₁₂ = 1×6 + 2×8 = 22
c₂₁ = 3×5 + 4×7 = 43, c₂₂ = 3×6 + 4×8 = 50
C = |19 22|
|43 50|
📘 Приклад 2: Визначник 2×2
Знайти det(A), де A = |3 7|
|1 5|
det(A) = 3×5 - 7×1 = 15 - 7 = 8
Визначник 3×3 (правило Саррюса)
- a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂
📘 Приклад 3: Визначник 3×3
|1 2 3|
|4 5 6|
|7 8 9|
= 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8 - 3·5·7 - 2·4·9 - 1·6·8
= 45 + 84 + 96 - 105 - 72 - 48 = 0
Обернена матриця
Обернена матриця A⁻¹ існує тільки для квадратних матриць з det(A) ≠ 0:
Для матриці 2×2:
|c d| |-c a|
📘 Приклад 4: Обернена матриця
A = |2 1|, det(A) = 2×4 - 1×3 = 5
|3 4|
A⁻¹ = (1/5) × | 4 -1| = |0.8 -0.2|
|-3 2| |-0.6 0.4|
Ранг матриці
Ранг матриці — це максимальний порядок ненульового мінора. Ранг визначає кількість лінійно незалежних рядків (стовпців).
Розв'язання систем рівнянь матричним методом
Система AX = B розв'язується як X = A⁻¹B (якщо A⁻¹ існує).
📘 Приклад 5: Система рівнянь
{ 2x + y = 5
{ 3x + 4y = 11
A = |2 1|, B = |5 |, det(A) = 5
|3 4| |11|
X = A⁻¹B = (1/5)|4 -1|·|5 | = (1/5)|9 | = |1.8|
|-3 2| |11| |7 | |1.4|
x = 1.8, y = 1.4
Метод Гауса
Метод елементарних перетворень для зведення матриці до ступінчастого вигляду:
1. Міняти рядки місцями
2. Множити рядок на ненульове число
3. Додавати до рядка інший рядок, помножений на число
Власні числа та вектори
Число λ є власним числом матриці A, якщо існує ненульовий вектор x:
det(A - λE) = 0 (характеристичне рівняння)
Застосування матриць
• Системи рівнянь: матрична форма запису і розв'язання
• Комп'ютерна графіка: трансформації (обертання, масштабування, зсув)
• Економіка: модель Леонтьєва (міжгалузевий баланс)
• Квантова механіка: оператори у вигляді матриць
• Machine Learning: ваги нейронних мереж
Типові помилки
• A·B ≠ B·A — порядок множення має значення!
• Обернена матриця існує тільки при det(A) ≠ 0
• При множенні: стовпці першої = рядки другої матриці
• det(A·B) = det(A)·det(B), але det(A+B) ≠ det(A) + det(B)
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Вправи з алгебри розвивають: розв'язування систем лінійних рівнянь, операції з матрицями, знаходження визначників та власних значень.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.