📖 Теоретичний матеріал
Теорема Піфагора
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Наслідки
З теореми Піфагора можна знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника, знаючи дві інші:
a = √(c² - b²) — катет
b = √(c² - a²) — катет
Піфагорові трійки
Набори натуральних чисел (a, b, c) що задовольняють теорему: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25).
Будь-яку трійку можна помножити на ціле число і отримати нову: (6, 8, 10), (9, 12, 15) тощо.
Генерація піфагорових трійок
Для будь-яких натуральних m > n > 0:
b = 2mn
c = m² + n²
Наприклад, m = 2, n = 1: a = 3, b = 4, c = 5.
📘 Приклад 1: Знаходження гіпотенузи
Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайти гіпотенузу.
c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см
📘 Приклад 2: Знаходження катета
Гіпотенуза = 13, один катет = 5. Знайти другий катет.
b = √(c² - a²) = √(169 - 25) = √144 = 12
📘 Приклад 3: Діагональ прямокутника
Знайти діагональ прямокутника зі сторонами 9 і 40.
d = √(9² + 40²) = √(81 + 1600) = √1681 = 41
Обернена теорема Піфагора
Якщо для сторін трикутника виконується c² = a² + b², то трикутник прямокутний.
Якщо c² < a² + b² → гострокутний (всі кути < 90°)
Якщо c² > a² + b² → тупокутний (один кут > 90°)
📘 Приклад 4: Перевірка
Чи є трикутник зі сторонами 5, 7, 9 прямокутним?
9² = 81; 5² + 7² = 25 + 49 = 74
81 > 74, отже трикутник тупокутний
Висота прямокутного трикутника
Висота, проведена з прямого кута до гіпотенузи:
Проекції катетів на гіпотенузу:
a² = c · p (де p — проекція катета a)
b² = c · q (де q — проекція катета b)
h² = p · q
Площа прямокутного трикутника
S = (c × h) / 2 (через гіпотенузу і висоту)
Теорема Піфагора у просторі
Діагональ прямокутного паралелепіпеда (коробки) з ребрами a, b, c:
📘 Приклад 5: Діагональ паралелепіпеда
Знайти діагональ коробки зі сторонами 3, 4 і 12.
d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
Відстань між двома точками
На площині між точками A(x₁, y₁) і B(x₂, y₂):
У просторі між точками A(x₁, y₁, z₁) і B(x₂, y₂, z₂):
📘 Приклад 6: Відстань між точками
Знайти відстань між A(1, 2) і B(4, 6).
d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Теорема косинусів (узагальнення)
Для довільного трикутника (не обов'язково прямокутного):
При C = 90°: cos(90°) = 0, і формула перетворюється на теорему Піфагора.
Практичне застосування
• Будівництво: перевірка прямих кутів (правило «3-4-5»)
• Навігація: обчислення відстаней по карті
• Комп'ютерна графіка: відстань між пікселями
• Фізика: додавання перпендикулярних векторів
• Архітектура: розрахунок довжини сходів, пандусів
Доведення теореми
Алгебраїчне доведення: Побудуємо квадрат зі стороною (a+b). Внутрішні трикутники утворюють квадрат зі стороною c. Порівнюючи площі:
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
a² + b² = c²
Типові помилки
• Застосування теореми до непрямокутного трикутника
• Плутанина: гіпотенуза — це найдовша сторона (та, що навпроти прямого кута)
• Забувають добути квадратний корінь після додавання квадратів
• У формулі відстані забувають піднести різниці до квадрата
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.