📖 Теоретичний матеріал
Означення системи рівнянь
Система рівнянь — це сукупність рівнянь, які повинні виконуватися одночасно. Для системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
{ a₂x + b₂y = c₂
Метод підстановки
1. Виразити одну змінну через іншу з одного рівняння
2. Підставити цей вираз у друге рівняння
3. Розв'язати отримане рівняння з однією змінною
4. Знайти значення другої змінної
Приклад:
{ x + y = 5
{ 2x - y = 1
1) З першого рівняння: y = 5 - x
2) Підставимо в друге: 2x - (5-x) = 1
3) 2x - 5 + x = 1 → 3x = 6 → x = 2
4) y = 5 - 2 = 3
Відповідь: x = 2, y = 3
Метод додавання (алгебраїчного додавання)
1. Помножити рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними
2. Додати рівняння, щоб одна змінна зникла
3. Розв'язати отримане рівняння
4. Підставити знайдене значення в одне з початкових рівнянь
Приклад:
{ 3x + 2y = 13
{ 2x - 2y = 2
Додамо рівняння (коефіцієнти при y вже протилежні):
5x = 15 → x = 3
Підставимо в перше: 3·3 + 2y = 13
9 + 2y = 13 → 2y = 4 → y = 2
Відповідь: x = 3, y = 2
Графічний метод
Кожне лінійне рівняння виду ax + by = c задає пряму на площині. Розв'язок системи — це точка перетину прямих.
Можливі випадки:
- Один розв'язок: прямі перетинаються (a₁/a₂ ≠ b₁/b₂)
- Безліч розв'язків: прямі збігаються (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂)
- Розв'язків немає: прямі паралельні (a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂)
Метод Крамера (для систем з визначником)
Для системи:
{ a₂x + b₂y = c₂
Обчислюємо визначники:
Dₓ = c₁b₂ - c₂b₁
Dᵧ = a₁c₂ - a₂c₁
Якщо D ≠ 0, то x = Dₓ/D, y = Dᵧ/D
Матричний метод
Система AX = B, де A — матриця коефіцієнтів, X — стовпець невідомих, B — стовпець вільних членів.
де A⁻¹ — обернена матриця
📘 Приклад 3: Метод Крамера
{ 2x + 3y = 8
{ 4x - y = 2
D = 2·(-1) - 4·3 = -2 - 12 = -14
Dₓ = 8·(-1) - 2·3 = -8 - 6 = -14
Dᵧ = 2·2 - 4·8 = 4 - 32 = -28
x = Dₓ/D = -14/(-14) = 1, y = Dᵧ/D = -28/(-14) = 2
Відповідь: x = 1, y = 2
Метод Гауса (послідовне виключення)
Зводимо розширену матрицю системи до трикутного вигляду за допомогою елементарних перетворень:
1. Записати розширену матрицю [A|B]
2. Прямий хід: звести до ступінчастого вигляду
3. Зворотний хід: знайти змінні починаючи з останнього рівняння
📘 Приклад 4: Метод Гауса для 3 змінних
{ x + y + z = 6
{ 2x + 3y + z = 14
{ x - y + 2z = 2
Розширена матриця:
[1 1 1 | 6]
[2 3 1 | 14]
[1 -1 2 | 2]
R₂ = R₂ - 2R₁: [0 1 -1 | 2]
R₃ = R₃ - R₁: [0 -2 1 | -4]
R₃ = R₃ + 2R₂: [0 0 -1 | 0]
Зворотний хід: z = 0, y - 0 = 2 → y = 2, x + 2 + 0 = 6 → x = 4
Відповідь: x = 4, y = 2, z = 0
Метод Крамера для 3 змінних
Для системи 3×3 обчислюємо чотири визначники 3-го порядку:
де D — визначник матриці коефіцієнтів, а Dₓ, Dᵧ, D_z — визначники, в яких відповідний стовпець замінено стовпцем вільних членів.
Дослідження системи (теорема Кронекера-Капеллі)
| Умова | Результат |
|---|---|
| rang(A) = rang(A|B) = n | Єдиний розв'язок |
| rang(A) = rang(A|B) < n | Безліч розв'язків |
| rang(A) ≠ rang(A|B) | Розв'язків немає |
де n — кількість невідомих.
Системи нелінійних рівнянь
Коли хоча б одне рівняння нелінійне (квадратне, тригонометричне тощо):
📘 Приклад 5: Нелінійна система
{ x + y = 5
{ xy = 6
З першого: y = 5 - x. Підставимо:
x(5 - x) = 6 → 5x - x² = 6 → x² - 5x + 6 = 0
D = 25 - 24 = 1, x = (5 ± 1)/2
x₁ = 3, y₁ = 2; x₂ = 2, y₂ = 3
Відповідь: (3; 2) і (2; 3)
📘 Приклад 6: Система з колом і прямою
{ x² + y² = 25
{ x - y = 1
З другого: x = y + 1. Підставимо:
(y+1)² + y² = 25 → y² + 2y + 1 + y² = 25 → 2y² + 2y - 24 = 0
y² + y - 12 = 0 → (y+4)(y-3) = 0
y₁ = 3, x₁ = 4; y₂ = -4, x₂ = -3
Відповідь: (4; 3) і (-3; -4)
Однорідні системи
Система вигляду AX = 0 (всі вільні члени = 0):
• Завжди має тривіальний розв'язок: x = 0, y = 0, z = 0
• Має нетривіальні розв'язки, якщо D = 0
Параметричні системи
📘 Приклад 7: Система з параметром
При яких значеннях a система має єдиний розв'язок?
{ ax + y = 1
{ x + ay = 1
D = a·a - 1·1 = a² - 1
Система має єдиний розв'язок при D ≠ 0: a² - 1 ≠ 0, тобто a ≠ ±1
При a = 1: обидва рівняння x + y = 1 → безліч розв'язків
При a = -1: { -x + y = 1, { x - y = 1 → 0 = 2 — розв'язків немає
Практичні задачі (складання систем)
📘 Приклад 8: Задача на рух
Два автомобілі виїхали одночасно назустріч один одному з міст, відстань між якими 600 км. Зустрілися через 4 години. Швидкість першого на 20 км/год більша. Знайти швидкості.
{ v₁ + v₂ = 600/4 = 150
{ v₁ - v₂ = 20
Додамо: 2v₁ = 170 → v₁ = 85 км/год
v₂ = 150 - 85 = 65 км/год
📘 Приклад 9: Задача на суміші
Змішали 20% та 50% розчини, отримали 600 г 30% розчину. Скільки взяли кожного?
{ x + y = 600
{ 0.2x + 0.5y = 0.3 × 600 = 180
З першого: x = 600 - y. Підставимо:
0.2(600-y) + 0.5y = 180 → 120 - 0.2y + 0.5y = 180
0.3y = 60 → y = 200, x = 400
Відповідь: 400 г 20% і 200 г 50%
Порівняння методів
| Метод | Найкраще для | Обмеження |
|---|---|---|
| Підстановка | Один коефіцієнт = 1 | Громіздкий при складних коеф. |
| Додавання | Коеф. взаємно кратні | Не для нелінійних |
| Графічний | Наочність, оцінка | Неточний для дробів |
| Крамер | 2-3 змінні, точний | D ≠ 0 |
| Гауса | Будь-яка кількість | Більше обчислень |
| Матричний | Комп'ютерні обчислення | Потрібна A⁻¹ |
Типові помилки
• При додаванні забувають помножити ВСІ члени рівняння (включно з вільним)
• При підстановці неправильно розкривають дужки (знак мінус перед дужкою)
• Плутають D = 0 (немає або безліч) з D ≠ 0 (єдиний розв'язок)
• У методі Крамера підстановка стовпця вільних членів у неправильну позицію
• Забувають перевірити відповідь підстановкою в обидва рівняння
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.