📖 Теоретичний матеріал
Тригонометричні функції
У прямокутному трикутнику тригонометричні функції визначаються як відношення сторін:
cos(α) = прилеглий катет / гіпотенуза
tg(α) = протилежний катет / прилеглий катет
Основна тотожність
Значення для основних кутів
| Кут | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | — |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | 1 | 0 | — | 0 |
Котангенс та секанс
sec(α) = 1 / cos(α)
cosec(α) = 1 / sin(α)
Тригонометричні тотожності
1 + tg²α = 1/cos²α
1 + ctg²α = 1/sin²α
tg(α) = sin(α) / cos(α)
tg(α) · ctg(α) = 1
Формули додавання
cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α · tg β)
Формули подвійного кута
cos(2α) = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
tg(2α) = 2·tg(α) / (1 - tg²(α))
Формули половинного кута
cos(α/2) = ±√((1 + cos α) / 2)
tg(α/2) = sin α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sin α
Формули зведення
Дають змогу замінити тригонометричну функцію від довільного кута функцією гострого кута:
sin(π + α) = -sin α, cos(π + α) = -cos α
sin(π/2 - α) = cos α, cos(π/2 - α) = sin α
sin(π/2 + α) = cos α, cos(π/2 + α) = -sin α
Перетворення суми в добуток
sin α - sin β = 2·cos((α+β)/2)·sin((α-β)/2)
cos α + cos β = 2·cos((α+β)/2)·cos((α-β)/2)
cos α - cos β = -2·sin((α+β)/2)·sin((α-β)/2)
📘 Приклад 1: Обчислення без калькулятора
Обчислити sin(75°).
sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin45°·cos30° + cos45°·sin30°
= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = (√6 + √2) / 4 ≈ 0.9659
📘 Приклад 2: Спрощення виразу
Спростити: sin²α + cos²α + tg²α · cos²α
= 1 + (sin²α/cos²α) · cos²α = 1 + sin²α
Оскільки sin²α = 1 - cos²α: = 2 - cos²α
📘 Приклад 3: Формула подвійного кута
Знайти sin(2α), якщо sin(α) = 3/5 і α — гострий кут.
cos α = √(1 - sin²α) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5
sin(2α) = 2·sin α·cos α = 2·(3/5)·(4/5) = 24/25 = 0.96
Обернені тригонометричні функції
Обернені функції дозволяють знайти кут за відомим значенням тригонометричної функції:
arccos(x): область визначення [-1, 1], значення [0, π]
arctg(x): область визначення (-∞, +∞), значення (-π/2, π/2)
Радіани та градуси
Зв'язок між градусами та радіанами:
1 рад ≈ 57.3°
1° = π/180 рад ≈ 0.01745 рад
| Градуси | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Радіани | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π |
Одиничне коло
Тригонометричні функції визначаються через координати точки на одиничному колі (колі з радіусом 1):
• Якщо кут α відкладається від додатного напрямку осі OX проти годинникової стрілки, то:
y = sin(α) — ордината точки
• У I чверті: sin > 0, cos > 0
• У II чверті: sin > 0, cos < 0
• У III чверті: sin < 0, cos < 0
• У IV чверті: sin < 0, cos > 0
Тригонометричні рівняння
Основні типи та їх розв'язки:
cos(x) = a → x = ±arccos(a) + 2πn, n ∈ Z
tg(x) = a → x = arctg(a) + πn, n ∈ Z
Типові помилки
• sin(α + β) ≠ sin α + sin β — це не лінійна функція!
• sin(2α) ≠ 2·sin(α) — потрібна формула подвійного кута
• Знак функції залежить від чверті кола — не забувайте перевіряти
• При розв'язанні рівнянь пишіть загальний розв'язок (з параметром n)
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Вправи розвивають просторове мислення та вміння застосовувати геометричні формули в різних контекстах.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.