📖 Теоретичний матеріал
Означення вектора
Вектор — це спрямований відрізок, що характеризується напрямком і довжиною (модулем). Вектор можна записати у вигляді координат:
ā = (x, y, z) — у просторі
Довжина (модуль) вектора
Для вектора на площині ā = (x, y):
Для вектора у просторі ā = (x, y, z):
Додавання векторів
Координати векторів додаються покоординатно:
ā + b̄ = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)
Геометрично: правило трикутника або паралелограма
Віднімання векторів
Множення вектора на число
Кожна координата множиться на це число:
|k·ā| = |k|·|ā|
Скалярний добуток
Скалярний добуток — це число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат:
ā · b̄ = |ā|·|b̄|·cos(φ)
де φ — кут між векторами
Властивості скалярного добутку
ā · (b̄ + c̄) = ā·b̄ + ā·c̄ (дистрибутивність)
(k·ā) · b̄ = k·(ā·b̄)
ā · ā = |ā|²
Перпендикулярність і колінеарність
| Перпендикулярні | ā ⊥ b̄ ⟺ ā·b̄ = 0 |
| Колінеарні | ā ∥ b̄ ⟺ ā = k·b̄ |
| Однаково напрямлені | k > 0 |
| Протилежно напрямлені | k < 0 |
Кут між векторами
Векторний добуток (у просторі)
Векторний добуток — це вектор, перпендикулярний до обох векторів:
| x₁ y₁ z₁ |
| x₂ y₂ z₂ |
Властивості векторного добутку
ā × b̄ = -b̄ × ā (антикомутативність)
ā × ā = 0̄
ā ∥ b̄ ⟺ ā × b̄ = 0̄
Мішаний добуток (у просторі)
Мішаний добуток трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда:
Базисні вектори
На площині:
ā = x·ī + y·j̄
У просторі:
ā = x·ī + y·j̄ + z·k̄
Числові приклади
📘 Приклад 1: Довжина та кут
ā = (3, 4), b̄ = (1, 7). Знайти |ā|, скалярний добуток та кут між ними.
|ā| = √(9 + 16) = √25 = 5
|b̄| = √(1 + 49) = √50 = 5√2
ā · b̄ = 3·1 + 4·7 = 3 + 28 = 31
cos(φ) = 31 / (5 · 5√2) = 31/(25√2) ≈ 0.877
φ ≈ arccos(0.877) ≈ 28.7°
📘 Приклад 2: Перевірка перпендикулярності
Чи перпендикулярні ā = (2, -3, 1) та b̄ = (1, 2, 4)?
ā · b̄ = 2·1 + (-3)·2 + 1·4 = 2 - 6 + 4 = 0
Оскільки ā · b̄ = 0, вектори перпендикулярні ✓
📘 Приклад 3: Векторний добуток
Знайти ā × b̄, якщо ā = (2, 1, -1), b̄ = (1, 3, 2).
i: 1·2 - (-1)·3 = 2 + 3 = 5
j: -(2·2 - (-1)·1) = -(4 + 1) = -5
k: 2·3 - 1·1 = 6 - 1 = 5
ā × b̄ = (5, -5, 5)
|ā × b̄| = √(25+25+25) = 5√3 — площа паралелограма на цих векторах
📘 Приклад 4: Мішаний добуток
ā = (1, 2, -1), b̄ = (3, 0, 1), c̄ = (2, 1, 3). Знайти об'єм паралелепіпеда.
V = |det| = |1(0·3 - 1·1) - 2(3·3 - 1·2) + (-1)(3·1 - 0·2)|
= |1·(-1) - 2·7 + (-1)·3| = |-1 - 14 - 3| = |-18| = 18
Проєкція вектора
Проєкція вектора ā на напрям вектора b̄:
Вектор проєкції: пр⃗b̄ ā = ((ā · b̄) / |b̄|²) · b̄
📘 Приклад 5: Проєкція
ā = (4, 3), b̄ = (1, 0). Знайти проєкцію ā на b̄.
прb̄ ā = (4·1 + 3·0) / √(1²+0²) = 4/1 = 4
(Це x-координата — проєкція на вісь Ox)
Площа трикутника і паралелограма
Sтрикутника = |ā × b̄| / 2
На площині (за координатами вершин A, B, C):
📘 Приклад 6: Площа трикутника
Вершини A(1,2), B(4,6), C(7,1). Знайти площу.
S = ½ |1(6-1) + 4(1-2) + 7(2-6)|
= ½ |5 + (-4) + (-28)| = ½ · 27 = 13.5
Вектор між двома точками
Середина відрізка
Поділ відрізка у заданому відношенні
Точка M, що ділить AB у відношенні λ:μ від A:
Одиничний вектор (орт)
Одиничний вектор має довжину 1 і зберігає напрям ā.
📘 Приклад 7: Одиничний вектор
Знайти одиничний вектор у напрямку ā = (3, -4).
|ā| = √(9+16) = 5
ē = (3/5, -4/5) = (0.6, -0.8)
Напрямні косинуси
Cosинуси кутів вектора з осями координат:
cos²α + cos²β + cos²γ = 1
Лінійна залежність і незалежність
Вектори ā₁, ā₂, ..., ān лінійно залежні, якщо існують числа λ₁, ..., λn (не всі нулі), такі що:
• 2 вектори лінійно залежні ⟺ колінеарні
• 3 вектори лінійно залежні ⟺ компланарні (лежать в одній площині)
Рівняння прямої (через вектори)
| Форма | Рівняння |
|---|---|
| Параметричне | r̄ = r̄₀ + t·d̄ |
| Канонічне | (x-x₀)/l = (y-y₀)/m = (z-z₀)/n |
| На площині через нормаль | n̄ · (r̄ - r̄₀) = 0 |
де d̄ = (l, m, n) — напрямний вектор, n̄ — вектор нормалі.
Рівняння площини
n̄ = (A, B, C) — нормаль до площини
Відстань від точки до площини
Застосування векторів
| Галузь | Застосування |
|---|---|
| Фізика | Сила, швидкість, прискорення, момент сили |
| Інженерія | Розрахунок конструкцій, навантажень |
| Комп'ютерна графіка | 3D-моделювання, освітлення, текстури |
| Навігація | GPS, курс руху, вітровий знос |
| Машинне навчання | Простори ознак, градієнти, embeddings |
Типові помилки
• Плутають скалярний (число) і векторний (вектор) добутки
• Забувають, що ā × b̄ ≠ b̄ × ā (відрізняються знаком!)
• Помилка у знаку j-компоненти векторного добутку (він з мінусом)
• Забувають ділити на 2 для площі трикутника (|ā × b̄| — це паралелограм)
• Плутають вектор AB⃗ і BA⃗ (вони протилежні: AB⃗ = -BA⃗ )
• Модуль вектора завжди ≥ 0, навіть якщо координати від'ємні
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Вправи з математичного аналізу розвивають навички: обчислення похідних складних функцій, знаходження первісних, обчислення визначених і невизначених інтегралів, дослідження функцій на екстремум.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.