Нормальний розподіл і МНК
Гаусс вивів нормальний розподіл (1809), обґрунтовуючи метод найменших квадратів (МНК) при обробці астрономічних спостережень. Він показав: якщо помилки вимірювань нормально розподілені, МНК дає найкращу незміщену оцінку (теорема Гаусса–Маркова).
Щільність нормального розподілу:
f(x) = (1/√(2πσ²)) · exp(−(x−μ)²/(2σ²))
Параметри: μ — математичне сподівання, σ² — дисперсія
МНК: мінімізація Σᵢ (yᵢ − ŷᵢ)²
Оцінка: β̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy
Теорема Гаусса–Маркова: МНК-оцінка — BLUE
(Best Linear Unbiased Estimator)
Гаусс застосував МНК 1801 р. для передбачення траєкторії Церери — карликової планети, яку астрономи втратили. Його прогноз виявився точним.
🔗 Також за темою
Теорія чисел: «Арифметичні дослідження» (1801)
Disquisitiones Arithmeticae — фундаментальна праця, що систематизувала теорію чисел. Гаусс ввів поняття порівнянь (congruences), довів теорему про квадратичні лишки та закон квадратичної взаємності.
Порівняння: a ≡ b (mod m) ⟺ m | (a−b)
Закон квадратичної взаємності (1796):
(p/q)·(q/p) = (−1)^((p−1)(q−1)/4)
де (p/q) — символ Лежандра, p,q — непарні прості
Побудова правильного 17-кутника (1796):
17-кутник побудовний, бо 17 = 2^(2²) + 1 — число Ферма
(перше відкриття Гаусса, у 18 років!)
Квадратичні лишки
Символ Лежандра
Кільця лишків ℤₙ
Цілі Гаусса ℤ[i]
Теорема про 2 квадрати
Розподіл простих чисел
Диференціальна геометрія: Teorema Egregium
У 1827 р. Гаусс опублікував «Загальні дослідження кривих поверхонь», де ввів поняття гауссівської кривини K і довів видатну теорему (Theorema Egregium).
Гауссівська кривина: K = κ₁·κ₂ (добуток головних кривин)
Theorema Egregium («Видатна теорема», 1827):
K — внутрішня властивість поверхні;
залежить лише від першої квадратичної форми,
НЕ змінюється при згинанні без розтягування.
Наслідок: сферу (K>0) неможливо розгорнути
на площину (K=0) без деформацій —
ось чому карти світу завжди спотворюють!
Теорема Гаусса–Бонне:
∬_S K dA + ∮_∂S κ_g ds = 2πχ(S)
Електромагнетизм та одиниці вимірювання
Разом з Вільгельмом Вебером Гаусс заснував першу магнітну обсерваторію і розробив систему одиниць CGS. Теорема Гаусса — одне з рівнянь Максвелла.
Теорема Гаусса (електростатика):
∯_S E·dA = Q_enc/ε₀
Теорема Гаусса (магнетизм):
∯_S B·dA = 0 (магнітних монополів немає)
Одиниця: 1 Гаусс (Гс) = 10⁻⁴ Тесла
Хронологія
- 1777Народився у Брауншвейзі (герц-во Брауншвейг)
- 1795Доведення квадратичного закону взаємності (вперше); вступ до Гьоттінгенського університету
- 1796Побудова правильного 17-кутника циркулем і лінійкою (18 років)
- 1801«Арифметичні дослідження» та передбачення орбіти Церери методом МНК
- 1809«Теорія руху небесних тіл»: вивід нормального розподілу, МНК
- 1827«Загальні дослідження кривих поверхонь» — Theorema Egregium, народження диф. геометрії
- 1832Разом з Вебером: магнітна обсерваторія, система CGS, електромагнітний телеграф
- 1855Помер у Гьоттінгені; на надгробку — правильний 17-кутник