Рівнопотужність і перерахованість
Кантор радикально змінив розуміння нескінченності, запровадивши точне поняття рівнопотужності множин через бієктивні відображення. Виявилось, що «нескінченностей» — безліч різних рівнів.
Рівнопотужність: |A| = |B| ⟺ існує бієкція A↔B
Зліченні множини (|A| = ℵ₀):
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀
Приклад: ℕ ↔ ℤ: n ↦ (n/2 якщо n парне, -(n+1)/2 якщо непарне)
1→0, 2→-1, 3→1, 4→-2, 5→2, …
|ℕ| = |ℕ×ℕ| (бієкція через «зигзагову» нумерацію)
Отже: |ℚ| = ℵ₀ (ℚ зліченне!)
Парадокс Гільберта: «Готель Гільберта» — нескінченний готель, в якому всі номери зайняті. Але якщо приїде ще 1 гість — його можна розмістити (зсунув всіх на 1 місце). Навіть нескінченно багато нових гостей — розмістити можна!
Діагональний аргумент: ℝ незліченне
Кантор довів, що дійсні числа незліченні — їх потужність більша за ℵ₀. Доведення методом «діагоналізації» — один із найелегантніших аргументів математики.
Теорема: |ℝ| > ℵ₀ (ℝ незліченне)
Доведення від супротивного:
Припустимо, ℝ ⊂ [0,1] зліченне, тобто можна
перелічити: x₁, x₂, x₃, …
Запишемо в десятковому вигляді:
x₁ = 0.d₁₁ d₁₂ d₁₃ d₁₄ …
x₂ = 0.d₂₁ d₂₂ d₂₃ d₂₄ …
x₃ = 0.d₃₁ d₃₂ d₃₃ d₃₄ …
Побудуємо y: yₙ = (dₙₙ + 1) mod 9
(змінюємо кожну «діагональну» цифру)
y = 0.y₁y₂y₃… відрізняється від xₙ хоча б
у n-й цифрі → y ∉ {x₁, x₂, x₃, …}
Протиріччя! ⟹ [0,1] незліченне ⟹ |ℝ| > ℵ₀
Ієрархія нескінченностей: числа ℵ
Теорема Кантора стверджує: для будь-якої множини A потужність її булеана (множини підмножин) 2^|A| строго більша за |A|. Це породжує нескінченну ієрархію кардинальних чисел.
Теорема Кантора:
∀A: |A| < |2^A| = |𝒫(A)|
Ієрархія кардинальних чисел:
ℵ₀ < 2^ℵ₀ = 𝔠 < 2^𝔠 < 2^(2^𝔠) < …
де 𝔠 = |ℝ| (потужність континууму)
| Множина | Потужність | Позначення |
|---|---|---|
| ℕ, ℤ, ℚ | ℵ₀ | Зліченна нескінченність |
| ℝ, ℂ, (0,1) | 2^ℵ₀ = 𝔠 | Потужність континууму |
| Функції ℝ→ℝ | 2^𝔠 | Більша нескінченність |
| 𝒫(𝒫(ℝ)) | 2^(2^𝔠) | Ще більша… |
Континуум-гіпотеза
Кантор сформулював континуум-гіпотезу: між ℵ₀ і 𝔠 = 2^ℵ₀ немає проміжних кардинальних чисел. Це стало першою з 23 задач Гільберта (1900). Вирішення виявилось шокуючим.
Континуум-гіпотеза (CH):
Немає такого A: ℵ₀ < |A| < 2^ℵ₀
Або: 2^ℵ₀ = ℵ₁ (наступний після ℵ₀)
Результат:
• Гьодель (1940): CH несуперечлива з аксіомами ZFC
• Коен (1963): ¬CH також несуперечлива з ZFC
Висновок: CH незалежна від ZFC!
(Неможливо ні довести, ні спростувати в ZFC)
Коен отримав Медаль Філдса (1966) за ці результати.
Хронологія
- 1845Народився у Санкт-Петербурзі в родині датського торговця
- 1867Захистив докторську дисертацію у Берліні; вчитель — Вейєрштрасс, Кронекер
- 1874Перша праця з теорії множин: ℝ незліченне (метод вкладених відрізків)
- 1891Діагональний аргумент — найшвидше, найелегантніше доведення
- 1895«Внесок до основ теорії нескінченних множин» — систематичний виклад
- 1900Кантор представив CH як першу задачу Гільберту; вже страждав від депресії
- 1918Помер у санаторії; його ідеї спочатку відкидали Кронекер і Пуанкаре, але сьогодні теорія множин — фундамент усієї математики