3900+
формул і тотожностей
32
прожив років (1887–1920)
1729
число таксі Hardy–Ramanujan
1/π
надшвидкий ряд (основа GPS/crypto)
Самоучка з Мадраса
Срінівас Рамануджан народився 22 грудня 1887 р. в Еродé (Тамілнад, Британська Індія) у бідній брахманській родині. Не маючи формальної математичної освіти, він самостійно освоїв математику по книзі «Synopsis of Elementary Results» Кара та почав заповнювати зошити власними відкриттями. У 1913 р. надіслав 120 теорем до Кембриджа — Г. Г. Гарді відразу відчув, що автор є генієм.
«Це повинен бути математик найвищого класу. Він відкрив теореми, невідомі будь-кому з живих математиків» — Г. Г. Гарді
Число таксі — 1729
1729
Найменше число, що є сумою двох кубів двома різними способами
Число Гарді–Рамануджана (1729)
1729 = 1³ + 12³ = 1 + 1728
= 9³ + 10³ = 729 + 1000
Гарді: «Приїхав у таксі №1729 — досить нецікаве число»
Рамануджан: «Ні! Це найцікавіша маленька сума кубів!»
n-е число таксі Ta(n): найменше, що розкладається n способами
Ряд для π — революційна точність
Ряд Рамануджана для 1/π (1914)
1 2√2 ∞ (4n)! · (1103 + 26390n)
─── = ───── Σ ──────────────────────────
π 9801 n=0 (n!)⁴ · 396⁴ⁿ
Кожен доданок дає ≈8 нових десяткових знаків π!
Основа сучасних алгоритмів Chudnovsky Brothers (1989):
15-17 цифр на один крок → використовується у Pi-обчисленнях
Алгоритм Chudnovsky — похідний від Рамануджана — побив усі рекорди обчислення π
Сумування Рамануджана: 1+2+3+… = −1/12
Формально розбіжний ряд природних чисел має конкретне значення в рамках регуляризації Рамануджана і аналітичного продовження дзета-функції Рімана:
Сумування Рамануджана та ζ-регуляризація
∞
Σ n = 1 + 2 + 3 + 4 + … (R) = −1/12
n=1
Пояснення через ζ-функцію:
ζ(s) = Σ 1/nˢ, аналітично продовжена до ζ(−1) = −1/12
Фізичний зміст: ефект Казиміра, ренормалізація в КТП
(реальний вимірний ефект 0.1 нН між пластинами)
Функція розбиттів p(n)
p(n) — кількість способів розбити натуральне число n на натуральні доданки (незалежно від порядку).
Асимптотика Гарді–Рамануджана для p(n)
1 π√(2n/3)
p(n) ≈ ────── · eˢ де s = π√──────
4n√3 3
Приклади:
p(4) = 5 {4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1}
p(10) = 42
p(100) = 190,569,292
p(200) = 3,972,999,029,388
Твірна функція: ∞ ∞
Σ p(n)xⁿ = ∏ ─────────
n=0 k=1 (1−xᵏ)
Формула Hardy–Ramanujan 1918 — перший асимптотичний результат для p(n); метод кола Гарді–Літтлвуда
Тотожності Роджерса–Рамануджана
Тотожності Роджерса–Рамануджана
∞ xⁿ² ∞ 1
Σ ──────────── = ∏ ─────────────────────────
n=0 (q;q)ₙ k=0 (1−x⁵ᵏ⁺¹)(1−x⁵ᵏ⁺⁴)
Другий варіант:
∞ xⁿ²⁺ⁿ ∞ 1
Σ ────────── = ∏ ───────────────────────
n=0 (q;q)ₙ k=0 (1−x⁵ᵏ⁺²)(1−x⁵ᵏ⁺³)
Записані у зошиті Рамануджана без доведень;
доведені Роджерсом (1894) і Шуром (1917) незалежно
Хронологія
- 1887Народився в Еродé, Тамілнад — бідна брахманська родина
- 1903Знайшов книгу Кара «Synopsis of Elementary Results»
- 1904Стипендія в Коледжі уряду (Kumbakonam), але провалив через захоплення математикою
- 1909-12Одружується, працює дрібним клерком, заповнює зошити
- 1913Надсилає 120 теорем Гарді до Кембриджа
- 1914Приїжджає до Триніті-коледжу; ряд для π, число 1729
- 1916Ступінь бакалавра (PhD за дослідження без іспитів)
- 1917Хвороба (туберкульоз); теорема про p(n) з Гарді
- 1918FRS → наймолодший індієць-член Лондонського королівського товариства
- 1920Повернення до Індії; помер 26 квітня, 32 роки. 3 зошити — понад 3900 формул