G3 (нейтральний елемент): e = 0; a+0 ≡ a (mod n) для всіх a ✓
G4 (обернений елемент): До a існує обернений n−a: a+(n−a) = n ≡ 0 (mod n) ✓
Окрім того, a + b ≡ b + a (mod n) → (ℤₙ, +) є абелевою групою.
|ℤₙ| = n, тому це скінченна абелева група порядку n.
Відповідь(ℤₙ, +) — абелева група порядку n ✓ (всі 4 аксіоми виконані)
Задача 2
Критерій підгрупи
Нехай G — група, H ⊆ G, H ≠ ∅. Доведіть: H є підгрупою G тоді і лише тоді, коли ∀ a, b ∈ H ⟹ a·b⁻¹ ∈ H.
Розв'язання
(⟹) Якщо H ≤ G, то H замкнена відносно операції та оберненого → a,b ∈ H ⟹ b⁻¹ ∈ H ⟹ a·b⁻¹ ∈ H.
(⟸) Нехай виконується умова:
Нейтральний: H ≠ ∅, беремо a ∈ H. Тоді a·a⁻¹ = e ∈ H ✓
Обернений: a ∈ H, e ∈ H → e·a⁻¹ = a⁻¹ ∈ H ✓
Замкненість: a, b ∈ H → b⁻¹ ∈ H → a·(b⁻¹)⁻¹ = a·b ∈ H ✓
Асоціативність: успадкована від G ✓
Запис: H ≤ G ⟺ H ≠ ∅ і ∀ a,b ∈ H: a·b⁻¹ ∈ H
ВідповідьКритерій підгрупи (одна умова замість чотирьох аксіом) — доведено ✓
§2. Теорема Лагранжа
Задача 3
Застосування теореми Лагранжа
G — скінченна група порядку |G| = 12. Визначте, які підгрупи можуть існувати, і доведіть теорему Лагранжа для конкретного прикладу H ≤ G, |H| = 4.
Теорема Лагранжа
Якщо H — підгрупа скінченної групи G, тоді |H| | |G|.
Доведення (розбиття на суміжні класи):
1. Визначаємо відношення a~b ⟺ a⁻¹b ∈ H
2. Це рефлексивне, симетричне, транзитивне → рівносильність
3. Кожен клас aH = {ah : h ∈ H} має рівно |H| елементів
4. Класи попарно не перетинаються і покривають G
→ |G| = [G:H] · |H| де [G:H] — індекс підгрупи
Гомоморфізм: φ(a+b) = ((a+b) mod 2, (a+b) mod 3) = (a mod 2 + b mod 2, a mod 3 + b mod 3) = φ(a)+φ(b) ✓
Китайська теорема про залишки → ℤₘₙ ≅ ℤₘ × ℤₙ ⟺ НСД(m,n)=1
Тут НСД(2,3) = 1 → ℤ₆ ≅ ℤ₂ × ℤ₃ ✓
Натомість: ℤ₄ ≇ ℤ₂ × ℤ₂ (у ℤ₄ є елемент порядку 4, в ℤ₂×ℤ₂ — ні)
Відповідьφ(k) = (k mod 2, k mod 3) — ізоморфізм; ℤ₆ ≅ ℤ₂ × ℤ₃ ✓ (бо НСД(2,3)=1)
§4. Кільця та гомоморфізми
Задача 5
Гомоморфізм кільця і ядро
Нехай φ: ℤ → ℤₙ, φ(k) = k mod n. Доведіть, що φ — гомоморфізм кілець, знайдіть ядро ker φ та застосуйте першу теорему ізоморфізму.
φ: ℤ → ℤₙ, φ(k) = k mod n
Збереження суми: φ(a+b) = (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n = φ(a)+φ(b) ✓
Збереження добутку: φ(a·b) = ab mod n = (a mod n · b mod n) mod n = φ(a)·φ(b) ✓
Збереження 1: φ(1) = 1 mod n = 1 ∈ ℤₙ ✓
ker φ = {k ∈ ℤ : φ(k) = 0} = {k : n | k} = nℤ = ⟨n⟩
Перша теорема ізоморфізму для кілець:
ℤ / ker φ ≅ Im φ
ℤ / nℤ ≅ ℤₙ ✓
Ідеал nℤ максимальний ⟺ ℤₙ — поле ⟺ n — просте
Відповідьker φ = nℤ; за першою теоремою ізоморфізму ℤ/nℤ ≅ ℤₙ ✓
Задача 6
Розширення полів: ℚ(√2)
Розгляньте розширення поля ℚ(√2) над ℚ. Знайдіть ступінь [ℚ(√2):ℚ], базис, мінімальний поліном і доведіть, що ℚ(√2) — поле.
Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.
Як вчитися на прикладах
Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.
Часті запитання (FAQ)
Які методи розв'язання задач з абстрактна алгебра демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Абстрактна алгебра': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з абстрактна алгебра представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з абстрактна алгебра найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок абстрактна алгебра містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з абстрактна алгебра допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Абстрактна алгебра' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.