Розв'язані задачі з астрономії

📋 Зміст

Третій закон Кеплера: визначення маси Сонця
Закон Хаббла: відстань до галактики
Зоряний паралакс: відстань до зірки
Закон Стефана–Больцмана: температура зірки
Радіус Шварцшильда: чорна діра

Третій закон Кеплера: визначення маси Сонця

🔭 Земля обертається навколо Сонця з середнім радіусом орбіти R = 1 а.о. = 1.496 × 10¹¹ м і орбітальним радіусом Тземлі = 1 рік = 3.156 × 10⁷ с. Знайдіть масу Сонця з третього закону Кеплера.

Формула (узагальнений 3-й закон Кеплера)

T² = (4π²/GM) × R³ → M = 4π²R³ / (GT²)

Де G = 6.674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг² — гравітаційна стала.

Підставляємо

M = 4π² × (1.496×10¹¹)³ / (6.674×10⁻¹¹ × (3.156×10⁷)²)

Чисельник

4π² × (1.496×10¹¹)³ = 39.478 × 3.348×10³³ = 1.322 × 10³⁵

Знаменник

6.674×10⁻¹¹ × (3.156×10⁷)² = 6.674×10⁻¹¹ × 9.960×10¹⁴ = 6.645×10⁴

M☉ = 1.322×10³⁵ / 6.645×10⁴ ≈ 1.99 × 10³⁰ кг ✓ (відповідає табличному значенню)

💡 У тій самій системі одиниць можна зіставляти орбіти будь-яких тіл навколо Сонця: (T₁/T₂)² = (R₁/R₂)³ — якщо обидва тіла обертаються навколо одного центру мас.

Закон Хаббла: відстань до галактики

🌌 Спектральний аналіз галактики показує червоне зміщення z = 0.035 (3.5%). Стала Хаббла H₀ = 70 км/с/Мпк. Визначте відстань до галактики.

Швидкість видалення (нерелятивістське наближення)

v = z × c = 0.035 × 3×10⁵ км/с = 10 500 км/с

Закон Хаббла

v = H₀ × d → d = v / H₀ = 10 500 / 70 = 150 Мпк

1 Мпк = 3.086 × 10²² м = 3.26 × 10⁶ світлових років.

d ≈ 150 Мпк ≈ 489 мільйонів світлових років

💡 Нерелятивістське наближення (v = cz) допустиме при z ≪ 1. При z > 0.1 необхідно враховувати розширений релятивістський вираз: v/c = [(1+z)²−1]/[(1+z)²+1].

Зоряний паралакс: відстань до зірки

⭐ Щорічний паралакс зірки Проксима Центавра становить p = 0.7687 кутових секунди (Hipparcos). Визначте відстань до зірки в парсеках і світлових роках.

Визначення парсека і формула паралаксу

d [пк] = 1 / p ["]

Парсек (пк) — відстань, з якої базисна лінія 1 а.о. видна під кутом 1 кутова секунда.

Обчислення

d = 1 / 0.7687 = 1.301 пк

Переведення в св. роки (1 пк = 3.2616 св. р.)

d = 1.301 × 3.2616 = 4.243 св. р.

d ≈ 1.30 пк ≈ 4.24 світлових роки — найближча зірка до Сонця

💡 Метод тригонометричного паралаксу надійний до відстаней ~1000 пк (до 1 кпк). Для далеких зірок застосовують «стандартні свічки»: цефеїди (принцип «період–світність») та наднові типу Іа.

Закон Стефана–Больцмана: температура зірки

🌟 Зірка Рігель (β Оріона) має світність L = 1.2 × 10⁵ L☉ і радіус R = 78 R☉. L☉ = 3.828 × 10²⁶ Вт, R☉ = 6.957 × 10⁸ м. Визначте ефективну температуру поверхні Рігеля.

Закон Стефана–Больцмана для зірки

L = 4πR²σT⁴ → T = (L / 4πR²σ)^(1/4)

σ = 5.6704 × 10⁻⁸ Вт/(м²·К⁴) — стала Стефана–Больцмана

Абсолютні значення

L = 1.2×10⁵ × 3.828×10²⁶ = 4.594×10³¹ Вт R = 78 × 6.957×10⁸ = 5.426×10¹⁰ м

Обчислення T⁴

T⁴ = L / (4πR²σ) = 4.594×10³¹ / (4π × (5.426×10¹⁰)² × 5.67×10⁻⁸) T⁴ = 4.594×10³¹ / (3.702×10¹²×5.67×10⁻⁸) = 4.594×10³¹ / 2.099×10⁵ T⁴ = 2.189×10²⁶

Четвертий корінь

T = (2.189×10²⁶)^0.25 = (2.189)^0.25 × 10^(26/4) = 1.216 × 10^6.5 ≈ 12 160 К

T_eff(Рігель) ≈ 12 100 К — зірка спектрального класу B8 (бело-блакитний надгігант) ✓

Радіус Шварцшильда: чорна діра

⚫ У центрі галактики M87 знаходиться надмасивна чорна діра масою M = 6.5 × 10⁹ M☉ (EHT, 2019). Визначте радіус горизонту подій (радіус Шварцшильда). M☉ = 1.989 × 10³⁰ кг.

Радіус Шварцшильда

Rs = 2GM / c²

G = 6.674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг², c = 3 × 10⁸ м/с

Маса чорної діри

M = 6.5×10⁹ × 1.989×10³⁰ = 1.293×10⁴⁰ кг

Обчислення

Rs = 2 × 6.674×10⁻¹¹ × 1.293×10⁴⁰ / (3×10⁸)² = 1.726×10³⁰ / 9×10¹⁶ = 1.918×10¹³ м ≈ 1.92×10¹⁰ км

Переведення в а.о.

1 а.о. = 1.496×10¹¹ м → Rs = 1.918×10¹³ / 1.496×10¹¹ ≈ 128 а.о.

Rs ≈ 1.92 × 10¹³ м ≈ 128 а.о. — горизонт подій чорної діри M87* Для порівняння: орбіта Плутона ≈ 39.5 а.о.

💡 EHT отримав перше пряме зображення «тіні» чорної діри M87* у 2019 р. Кутовий розмір тіні ~42 мкрад відповідав розрахованому для Rs ≈ 2.5 Rs (3–5 Rs — «тінь» через гравітаційне відхилення).

Астрономічні калькулятори Механіка: розв'язки Стаття: Астрономія

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з 🔭 розв'язані задачі з астрономії демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з '🔭 Розв'язані задачі з астрономії': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Якого рівня складності задачі з 🔭 розв'язані задачі з астрономії представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Як вчитися на розв'язаних задачах з 🔭 розв'язані задачі з астрономії найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?

Так, кожен розв'язок 🔭 розв'язані задачі з астрономії містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.

Як ці задачі з 🔭 розв'язані задачі з астрономії допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?

Розв'язані задачі з '🔭 Розв'язані задачі з астрономії' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔭 Розв'язані задачі з астрономії