Розв'язані задачі з лінійної алгебри: матриці, СЛАР, власні числа

📐 Задача 1. Визначник матриці 3×3 (формула Саррюса)

Задача 1

Обчисліть визначник матриці A = [[2,-1,3],[0,4,-2],[1,2,5]]

Дано: матриця 3×3. Знайти det(A) за формулою Саррюса.

Крок 1: формула Саррюса

det(A) = a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ − a₁₃·a₂₂·a₃₁ − a₁₁·a₂₃·a₃₂ − a₁₂·a₂₁·a₃₃

Крок 2: підставляємо елементи

| 2 -1 3 | | 0 4 -2 | | 1 2 5 |

Головна діагональ (+): 2·4·5 = 40; (−1)·(−2)·1 = 2; 3·0·2 = 0

Побічна діагональ (−): 3·4·1 = 12; 2·(−2)·2 = −8; (−1)·0·5 = 0

Крок 3: результат

det(A) = (40 + 2 + 0) − (12 − 8 + 0) = 42 − 4 = 38

✅ Відповідь: det(A) = 38. Матриця є оборотною (det ≠ 0).

💡 Правило Саррюса працює лише для матриць 3×3! Для n×n використовується розклад за рядком або стовпцем (теорема Лапласа).

↩ Задача 2. Обернена матриця

Задача 2

Знайдіть матрицю, обернену до A = [[1,2],[3,4]]

Дано: A = [[1,2],[3,4]]. Знайти A⁻¹ такої, що A·A⁻¹ = E.

Крок 1: визначник 2×2

det(A) = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2

det(A) ≠ 0 → обернена матриця існує.

Крок 2: формула для 2×2

A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, -b], [-c, a]] Для A = [[a,b],[c,d]]: A⁻¹ = (1/(ad-bc))·[[d,-b],[-c,a]]

Крок 3: обчислення

A⁻¹ = (1/(-2)) · | 4 -2 | |-3 1 | = | -2 1 | | 3/2 -1/2|

Крок 4: перевірка (A · A⁻¹ = E)

[1,2]·[-2, 1] + [1,2]·[3/2,-1/2] → [1, 0] ✓ [3,4]·[-2, 1] + [3,4]·[3/2,-1/2] → [0, 1] ✓

✅ Відповідь: A⁻¹ = [[-2, 1], [3/2, -1/2]]

📊 Задача 3. СЛАР методом Крамера

Задача 3

Розв'яжіть систему: 2x + y = 5; x − 3y = −4

Дано: СЛАР 2×2. Розв'язати методом Крамера.

Крок 1: матриця системи і вектор правих частин

A = | 2 1 |, b = | 5 | | 1 -3 | | -4 |

Крок 2: основний визначник

D = det(A) = 2·(−3) − 1·1 = −6 − 1 = −7

Крок 3: визначники Dₓ і D_y

Dₓ = | 5 1 | = 5·(−3) − 1·(−4) = −15 + 4 = −11 | -4 -3 | D_y = | 2 5 | = 2·(−4) − 5·1 = −8 − 5 = −13 | 1 -4 |

Крок 4: розв'язання

x = Dₓ/D = −11/(−7) = 11/7 ≈ 1,571 y = D_y/D = −13/(−7) = 13/7 ≈ 1,857

Перевірка

2·(11/7) + 13/7 = 22/7 + 13/7 = 35/7 = 5 ✓

11/7 − 3·(13/7) = 11/7 − 39/7 = −28/7 = −4 ✓

✅ Відповідь: x = 11/7, y = 13/7

λ Задача 4. Власні значення матриці

Задача 4

Знайдіть власні значення матриці A = [[3,1],[2,2]]

Дано: A = [[3,1],[2,2]]. Знайти λ такі що det(A−λE) = 0.

Крок 1: характеристичне рівняння

det(A − λI) = 0 |3−λ 1 | = (3−λ)(2−λ) − 1·2 = 0 |2 2−λ |

Крок 2: розкриваємо

(3−λ)(2−λ) − 2 = 0 6 − 3λ − 2λ + λ² − 2 = 0 λ² − 5λ + 4 = 0

Крок 3: дискримінант

D = 25 − 16 = 9 λ₁ = (5 + 3)/2 = 4 λ₂ = (5 − 3)/2 = 1

Крок 4: перевірка (слід і визначник)

λ₁ + λ₂ = 4 + 1 = 5 = tr(A) = 3 + 2 = 5 ✓ λ₁ · λ₂ = 4 · 1 = 4 = det(A) = 6 − 2 = 4 ✓

✅ Відповідь: λ₁ = 4, λ₂ = 1 (власні значення)

💡 Для матриці 2×2 завжди: λ₁+λ₂ = tr(A) і λ₁·λ₂ = det(A). Це зручна перевірка!

📏 Задача 5. Ортогоналізація Грама-Шмідта

Задача 5

Ортогоналізуйте базис: v₁ = (1,0,1), v₂ = (1,1,0)

Дано: v₁ = (1,0,1), v₂ = (1,1,0). Знайти ортогональний базис {u₁, u₂}.

Крок 1: формула Грама-Шмідта

u₁ = v₁ u₂ = v₂ − (⟨v₂,u₁⟩/⟨u₁,u₁⟩) · u₁ де ⟨a,b⟩ = a·b = Σ aᵢbᵢ (скалярний добуток)

Крок 2: перший вектор

u₁ = v₁ = (1, 0, 1)

Крок 3: проекція v₂ на u₁

⟨v₂ , u₁⟩ = 1·1 + 1·0 + 0·1 = 1 ⟨u₁ , u₁⟩ = 1·1 + 0·0 + 1·1 = 2 proj = (1/2) · (1, 0, 1) = (1/2, 0, 1/2)

Крок 4: другий ортогональний вектор

u₂ = v₂ − proj = (1,1,0) − (1/2, 0, 1/2) = (1/2, 1, −1/2)

Крок 5: перевірка ортогональності

⟨u₁, u₂⟩ = 1·(1/2) + 0·1 + 1·(−1/2) = 1/2 − 1/2 = 0 ✓

Крок 6: нормування (якщо потрібен ОНБ)

|u₁| = √2; ê₁ = (1/√2, 0, 1/√2) |u₂| = √(1/4+1+1/4) = √(3/2); ê₂ = u₂/|u₂|

✅ Відповідь: ортогональний базис: u₁ = (1,0,1), u₂ = (1/2, 1, −1/2)

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Розв'язки показують: метод Гауса для систем рівнянь, знаходження власних векторів, LU-розклад матриць.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з розв'язані задачі з лінійної алгебри демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Розв'язані задачі з лінійної алгебри': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Якого рівня складності задачі з розв'язані задачі з лінійної алгебри представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Як вчитися на розв'язаних задачах з розв'язані задачі з лінійної алгебри найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?

Так, кожен розв'язок розв'язані задачі з лінійної алгебри містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.

Як ці задачі з розв'язані задачі з лінійної алгебри допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?

Розв'язані задачі з 'Розв'язані задачі з лінійної алгебри' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

Розв'язані задачі з лінійної алгебри