Математичний аналіз — розв'язані задачі

Q: Які методи розв'язання задач з математичний аналіз демонструються на цій сторінці?

Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Математичний аналіз': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.

Q: Якого рівня складності задачі з математичний аналіз представлені?

Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.

Q: Як вчитися на розв'язаних задачах з математичний аналіз найефективніше?

Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.

Q: Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?

Так, кожен розв'язок математичний аналіз містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.

Q: Як ці задачі з математичний аналіз допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?

Розв'язані задачі з 'Математичний аналіз' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

§1. Границі і неперервність

Задача 1

ε-δ доведення границі

Доведіть за означенням ε-δ, що lim_{x→2} (3x − 1) = 5.

Розв'язання (ε-δ)

Потрібно показати: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: 0 < |x − 2| < δ ⟹ |(3x−1) − 5| < ε.

Спрощуємо: |(3x−1)−5| = |3x−6| = 3|x−2|

Умова: 3|x−2| < ε, тобто |x−2| < ε/3

Вибираємо δ = ε/3

Перевірка: якщо 0 < |x−2| < δ = ε/3, то |(3x−1) − 5| = 3|x−2| < 3·(ε/3) = ε ✓ Отже, для будь-якого ε > 0 існує δ = ε/3 така, що виконується означення границі.

Відповідьδ = ε/3; при |x−2| < δ отримуємо |(3x−1)−5| = 3|x−2| < ε ✓

Задача 2

Теорема Вейєрштрасса про екстремум

Доведіть, що функція f(x) = x² − 4x + 5 на [0, 3] досягає абсолютного мінімуму. Знайдіть його.

Застосування теореми Вейєрштрасса

Теорема: Неперервна функція на замкненому обмеженому відрізку [a,b] досягає свого максимуму і мінімуму.

f(x) = x²−4x+5 — многочлен → неперервна на [0,3] ✓

[0,3] — замкнений обмежений відрізок ✓

⟹ мінімум і максимум досягаються (за теоремою Вейєрштрасса)

Знаходження мінімуму

f'(x) = 2x − 4 = 0 ⟹ x = 2 (критична точка в (0,3)) Порівнюємо значення: Критична точка: f(2) = 4 − 8 + 5 = 1 Лівий кінець: f(0) = 0 − 0 + 5 = 5 Правий кінець: f(3) = 9 − 12 + 5 = 2 Абсолютний мінімум: f(2) = 1 (досягається у x = 2) Абсолютний максимум: f(0) = 5 (досягається у x = 0)

Відповідьmin f = f(2) = 1; max f = f(0) = 5 — обидва досягаються за теоремою Вейєрштрасса ✓

§2. Похідна і диференційовність

Задача 3

Похідна за означенням

Знайдіть похідну f(x) = x³ у точці x = a за означенням границі.

Означення похідної

f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)] / h f(a+h) = (a+h)³ = a³ + 3a²h + 3ah² + h³ f(a+h) − f(a) = 3a²h + 3ah² + h³ [f(a+h)−f(a)]/h = 3a² + 3ah + h² lim_{h→0} (3a² + 3ah + h²) = 3a²

При h→0: доданки з h і h² зникають

Результат: f'(a) = 3a² — відповідає правилу степеня d/dx[xⁿ] = nxⁿ⁻¹ ✓

Відповідьf'(x) = 3x² (доведено через означення; відповідає формулі (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹) ✓

§3. Інтеграл Рімана

Задача 4

Інтеграл за означенням (суми Рімана)

Обчисліть ∫₀² x dx за означенням, використовуючи рівномірне розбиття і праві кінці підінтервалів.

Суми Рімана

Розбиття [0,2] на n рівних частин: Δx = 2/n Праві кінці: xᵢ = i·(2/n), i = 1,…,n Сума Рімана: Sₙ = Σᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ)·Δx = Σᵢ₌₁ⁿ (2i/n)·(2/n) = (4/n²)·Σᵢ₌₁ⁿ i Сума: Σᵢ₌₁ⁿ i = n(n+1)/2 Sₙ = (4/n²)·n(n+1)/2 = 2(n+1)/n = 2 + 2/n lim_{n→∞} Sₙ = lim_{n→∞} (2 + 2/n) = 2

Перевірка: ∫₀² x dx = [x²/2]₀² = 4/2 − 0 = 2 ✓

Відповідь∫₀² x dx = lim Sₙ = 2 (±збігається з [x²/2]₀²) ✓

§4. Числові ряди

Задача 5

Збіжність ряду — ознака Даламбера

Дослідіть збіжність ряду Σ_{n=1}^∞ n²/2ⁿ за ознакою Даламбера. Знайдіть суму, якщо ряд збіжний.

Ознака Даламбера

aₙ = n²/2ⁿ aₙ₊₁/aₙ = [(n+1)²/2ⁿ⁺¹] / [n²/2ⁿ] = (n+1)²/(2n²) lim_{n→∞} (n+1)²/(2n²) = lim (1+1/n)²/2 = 1/2 < 1 За ознакою Даламбера: L = 1/2 < 1 → ряд збіжний ✓

Обчислення суми через твірну функцію

Відомо: Σ xⁿ = 1/(1−x) для |x|<1 Диференціюємо: Σ n·xⁿ⁻¹ = 1/(1−x)² Σ n·xⁿ = x/(1−x)² Диференціюємо ще раз·x: Σ n²·xⁿ = x(1+x)/(1−x)³ При x = 1/2: Σ_{n=1}^∞ n²/2ⁿ = (1/2)·(1+1/2)/(1−1/2)³ = (1/2)·(3/2)/(1/2)³ = (3/4)/(1/8) = 6

ВідповідьL = 1/2 < 1 → збіжний; сума S = 6 ✓

Задача 6

Рівномірна збіжність і перестановка границь

Нехай fₙ(x) = xⁿ на [0, 1]. Знайдіть поточкову границю f(x). Чи є збіжність рівномірною? Доведіть.

Поточкова границя

fₙ(x) = xⁿ на [0,1] Для x ∈ [0,1): lim_{n→∞} xⁿ = 0 (бо |x| < 1) Для x = 1: lim_{n→∞} 1ⁿ = 1 Гранична функція: f(x) = 0 при x ∈ [0,1) f(1) = 1

Рівномірна збіжність — перевірка

Рівномірна збіжність: sup_{x∈[0,1]} |fₙ(x) − f(x)| → 0 На [0,1): sup_{x∈[0,1)} |xⁿ − 0| = sup_{x∈[0,1)} xⁿ → 1 (не → 0!) Явно: при x = n^(−1/n) → 1, маємо xⁿ = e^(−1) ≈ 0.37 ≠ 0 Висновок: збіжність НЕ рівномірна на [0,1]

Причина важливості: fₙ(x) — всі неперервні, але f(x) — розривна у x=1. Теорема: рівномірна границя неперервних = неперервна. Тут розрив → НЕ рівномірно.

Відповідьf(x) = 0 на [0,1), f(1) = 1; збіжність поточкова, але НЕ рівномірна (sup|fₙ−f| = 1 ≠ 0) ✓

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Розв'язані задачі з математичного аналізу показують стандартні техніки: диференціювання неявних функцій, обчислення площ та об'ємів тіл обертання, дослідження збіжності рядів.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з математичний аналіз демонструються на цій сторінці?