∑

Розв'язані задачі: Послідовності та ряди

6 задач: границі, критерій Коші, ряди, формула Тейлора, число e, збіжність

Задача 1. Границя послідовності з корінням
Умова: Знайдіть границю: lim (n→∞) (√(n²+n) − n).
1
Маємо форму ∞−∞. Множимо і ділимо на спряжений вираз: (√(n²+n)−n)·(√(n²+n)+n)/(√(n²+n)+n).
2
Чисельник: (√(n²+n))²−n² = n²+n−n² = n.
3
Знаменник: √(n²+n)+n = n√(1+1/n)+n = n(√(1+1/n)+1).
lim (√(n²+n) − n) = lim n / [n(√(1+1/n)+1)] = lim 1 / (√(1+1/n)+1) При n→∞: 1/n → 0, тому √(1+1/n) → 1: = 1 / (1+1) = 1/2
4
Перевірка: при n=100: √(10100)−100 = 100.499...−100 = 0.499... ≈ 1/2 ✓
Відповідь:

lim(n→∞)(√(n²+n) − n) = 1/2. Метод: множення на спряжений + поділ чисельника і знаменника на n.

Задача 2. Число e як границя
Умова: Доведіть, що lim (n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e приблизними обчисленнями і через ряд.
1
Записуємо aₙ = (1+1/n)ⁿ і числово показуємо збіжність.
n=1: (1+1)¹ = 2.000 n=10: (1.1)¹⁰ ≈ 2.5937 n=100: (1.01)¹⁰⁰ ≈ 2.7048 n=1000: (1.001)¹⁰⁰⁰ ≈ 2.7169 n→∞: e = 2.71828182845... Альтернативне визначення через ряд (Ейлер): e = Σₙ₌₀^∞ 1/n! = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... Перші 5 членів: 1+1+0.5+0.1667+0.0417 = 2.7083 Доведення рівноваги двох означень через логарифм: ln(aₙ) = n·ln(1+1/n) Нехай h = 1/n → 0 при n → ∞: = ln(1+h)/h → 1 (через правило Лопіталя або ряд) Отже: aₙ → e¹ = e ✓
Відповідь:

lim(1+1/n)ⁿ = e ≈ 2.71828. Доводиться через ln(aₙ)→1 або через еквівалентність з рядом 1/n!. Узагальнення: lim(1+a/n)ⁿ = eᵃ.

Задача 3. Збіжність геометричного ряду
Умова: Знайдіть суму ряду Σₙ₌₀^∞ (3/4)ⁿ і доведіть збіжність.
1
Маємо геометричний ряд з першим членом a₀=1 і знаменником q=3/4. Оскільки |q|=3/4 < 1, ряд збігається.
2
Часткова сума S_N = (1 − qᴺ⁺¹)/(1−q). При N→∞: qᴺ → 0.
Формула суми геометричного ряду: Σₙ₌₀^∞ qⁿ = 1/(1−q) при |q| < 1 Обчислення: Σ (3/4)ⁿ = 1/(1−3/4) = 1/(1/4) = 4 Перевірка часткових сум: S₀ = 1 S₁ = 1 + 0.75 = 1.75 S₂ = 1.75 + 0.5625 = 2.3125 S₅ = 1 + 0.75 + 0.5625 + ... ≈ 3.2617 S₁₀ ≈ 3.8227 S₂₀ ≈ 3.9822 S∞ = 4 ✓ Критерій збіжності: γ = lim |aₙ₊₁/aₙ| = |q| = 3/4 < 1 ✓ (критерій Д'Аламбера)
Відповідь:

Σ(3/4)ⁿ = 4. Загальна формула: Σqⁿ = 1/(1−q) при |q|<1. Ряд розбігається при |q|≥1.

Задача 4. Критерій Коші і телескопічний ряд
Умова: Знайдіть суму ряду Σₙ₌₁^∞ 1/(n(n+1)).
1
Розкладаємо на прості дроби: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1) (перевіряємо: (n+1−n)/(n(n+1)) = 1/(n(n+1)) ✓).
2
Ряд є телескопічним: більшість членів скорочуються.
Часткова сума: Sₙ = Σₖ₌₁^ⁿ [1/k − 1/(k+1)] = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + ... + (1/n − 1/(n+1)) = 1 − 1/(n+1) ← всі середні члени скоротилися! Границя: S = lim Sₙ = lim [1 − 1/(n+1)] = 1 − 0 = 1 n→∞ n→∞ Критерій Коші (збіжності ряду): |Sᵥ − Sᵤ| = |1/(u+1) − 1/(v+1)| ≤ 1/(u+1) → 0 → Sₙ — Коші-послідовність → збігається ✓ Узагальнення: Σₙ₌₁^∞ 1/(n(n+k)) = (1/k)·Hₖ де Hₖ = Σ 1/j
Відповідь:

Σ 1/(n(n+1)) = 1. Метод частинних дробів перетворює ряд на телескопічний. Часткова сума Sₙ = 1 − 1/(n+1) → 1.

Задача 5. Ряд Тейлора для sin(x) та оцінка залишку
Умова: Напишіть ряд Тейлора для f(x) = sin(x) навколо 0. Оцініть похибку наближення sin(0.1) через 3 терміни.
1
Обчислюємо похідні: sin(0)=0, sin'(0)=cos(0)=1, sin''(0)=−sin(0)=0, sin'''(0)=−cos(0)=−1, ...
2
Ненульові похідні у x=0: непарних порядків, із знаками +−+−...
Ряд Маклорена (Тейлора при a=0) для sin(x): sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + ... = Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ x^(2n+1) / (2n+1)! Радіус збіжності: R = ∞ (збігається для всіх x ∈ ℝ) Оцінка sin(0.1) через 3 терми (до x⁵): sin(0.1) ≈ 0.1 − (0.1)³/6 + (0.1)⁵/120 = 0.1 − 0.001/6 + 0.00001/120 = 0.1 − 0.0001667 + 0.0000000833 ≈ 0.0998334 Точне значення: sin(0.1) = 0.0998334166... Залишок Лагранжа (|R₅| ≤ x⁷/7! для x=0.1): |R₅| ≤ (0.1)⁷/5040 ≈ 10⁻⁷/5040 ≈ 2×10⁻¹¹ ← дуже мала!
Відповідь:

sin(x) = Σ(−1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)!. Перші 3 терми дають sin(0.1) ≈ 0.09983 з похибкою < 10⁻¹¹. Ряд збігається для всіх x.

Задача 6. Критерій Д'Аламбера: ряд n!/nⁿ
Умова: Дослідіть збіжність ряду Σₙ₌₁^∞ n!/nⁿ за критерієм Д'Аламбера.
1
Позначимо aₙ = n!/nⁿ. Обчислимо відношення aₙ₊₁/aₙ.
2
aₙ₊₁ = (n+1)!/(n+1)^(n+1) = (n+1)·n! / ((n+1)·(n+1)ⁿ) = n!/(n+1)ⁿ
Відношення: aₙ₊₁/aₙ = [n!/(n+1)ⁿ] / [n!/nⁿ] = nⁿ/(n+1)ⁿ = [n/(n+1)]ⁿ = [1/(1+1/n)]ⁿ = 1 / (1+1/n)ⁿ При n→∞: (1+1/n)ⁿ → e (Задача 2 вище!) Отже: L = lim aₙ₊₁/aₙ = 1/e ≈ 0.368 < 1 n→∞ Критерій Д'Аламбера: якщо L < 1 → ряд ЗБІГАЄТЬСЯ ✓ Порівняємо з формулою Стірлінга: aₙ = n!/nⁿ ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ/nⁿ = √(2πn)·(1/e)ⁿ → aₙ → 0 дуже швидко, ряд абсолютно збігається
3
Зв'язок з числом e: відношення aₙ₊₁/aₙ = [n/(n+1)]ⁿ → 1/e. Це красиво поєднує факторіал, степені n і число e!
Відповідь:

Ряд Σ n!/nⁿ збігається. L = lim aₙ₊₁/aₙ = 1/e < 1 (критерій Д'Аламбера). Ключовий крок: [n/(n+1)]ⁿ = 1/(1+1/n)ⁿ → 1/e.

Методика розв'язання

Ця сторінка містить докладно розв'язані задачі з покроковими поясненнями. Мета — показати не лише відповідь, а сформувати розуміння методу, яке можна перенести на аналогічні задачі.

Розв'язані задачі з математичного аналізу показують стандартні техніки: диференціювання неявних функцій, обчислення площ та об'ємів тіл обертання, дослідження збіжності рядів.

Як вчитися на прикладах

Перед переглядом розв'язку спробуйте вирішити задачу самостійно. Якщо застрягли — зверніться до першого кроку, потім знову спробуйте самі. Пояснюйте кожен крок уголос — це радикально покращує засвоєння.

Часті запитання (FAQ)

Які методи розв'язання задач з розв'язані задачі демонструються на цій сторінці?
Сторінка демонструє стандартні та нестандартні методи розв'язання задач з 'Розв'язані задачі': аналітичні підходи, числові методи та графічні інтерпретації. Кожен крок супроводжується поясненням логіки.
Якого рівня складності задачі з розв'язані задачі представлені?
Представлені задачі охоплюють рівні: типові задачі з підручників (базовий), задачі підвищеної складності (середній) та нетипові варіанти (просунутий). Кожна задача чітко позначена за рівнем.
Як вчитися на розв'язаних задачах з розв'язані задачі найефективніше?
Ефективна техніка: прочитайте умову → спробуйте розв'язати самостійно → порівняйте з розв'язком → якщо помилилися, проаналізуйте де саме → через 2–3 дні повторіть задачу без підказок. Це формує стійкі навички.
Чи є в розв'язках покрокові пояснення всіх перетворень?
Так, кожен розв'язок розв'язані задачі містить детальні покрокові пояснення: записується перетворення, обґрунтовується його правомірність, вказуються використані теореми та формули. Підхід 'показати думку', а не лише відповідь.
Як ці задачі з розв'язані задачі допомагають при підготовці до контрольних та іспитів?
Розв'язані задачі з 'Розв'язані задачі' покривають типові варіанти університетських контрольних і іспитних завдань. Після їх опрацювання ви будете впізнавати тип задачі та одразу знати метод — це вирішальна перевага на іспиті.

🔗 Також за темою

🧮 Калькулятор рекурентних послідовностей 🧮 Калькулятор послідовностей 💪 Тренажер: Числові послідовності