1. Рівновага Неша у грі — це профіль стратегій, за якого:
A
Загальний виграш усіх гравців максимальний
B
Жоден гравець не може збільшити свій виграш, змінивши стратегію одноосібно
C
Кожен гравець мінімізує максимальний програш суперника
D
Всі гравці грають домінуючі стратегії
Правильно: B. Рівновага Неша — профіль (s₁*,…,sₙ*), де ∀i: uᵢ(sᵢ*,s₋ᵢ*) ≥ uᵢ(sᵢ,s₋ᵢ*) для будь-якого sᵢ. Жоден гравець не хоче відхилятись. A — оптимум за Парето (не те саме!), C — мінімакс, D — суперечить: можуть бути рівноваги без домінуючих стратегій.
2. У матриці виплат гравця 1: [[3,5],[4,2]]. Яка стратегія є суворо домінуючою?
Гравець 2: L R Гравець 1: U [3 , 5] D [4 , 2]
A
U домінує D (3>4 і 5>2) — неправда
B
Жодна стратегія не домінує іншу суворо
C
D домінує U: 4>3, але 2<5 — теж ні
D
U слабко домінує D
Правильно: B. U дає 3 або 5, D дає 4 або 2. U перемагає при R (5>2), але D перемагає при L (4>3). Жодна не домінує іншу суворо. Слабка домінація: sᵢ слабко домінує sᵢ', якщо uᵢ(sᵢ,s₋ᵢ) ≥ uᵢ(sᵢ',s₋ᵢ) для всіх s₋ᵢ — тут теж не виконується.
Сувора домінація: uᵢ(sᵢ,s₋ᵢ) > uᵢ(sᵢ',s₋ᵢ) для ВСІХ s₋ᵢ
3. У грі "Дилема в'язня" обидва гравці грають "Зрадити", хоча при взаємному "Мовчанні" обидва мали б кращий результат. Це приклад:
A
Оптимуму за Парето
B
Змішаної рівноваги Неша
C
Неефективної рівноваги Неша (пастка Неша)
D
Коаліційної гри
Правильно: C. Дилема в'язня — класичний приклад, де рівноважний результат (Зрадити, Зрадити) є єдиною рівновагою Неша, але неефективний за Парето: (Мовчати, Мовчати) дає кращий результат обом. "Зрадити" — домінуюча стратегія, тому обидва обирають її, попри спільну шкоду.
Матриця виплат дилеми: [[R,R], [S,T], [T,S], [P,P]] де T>R>P>S
4. У грі з нульовою сумою (two-person zero-sum) значення гри за теоремою мінімаксу Фон Неймана:
A
Завжди дорівнює нулю
B
Відповідає домінуючій стратегії гравця 1
C
Завжди досягається в чистих стратегіях
D
max_x min_y xᵀAy = min_y max_x xᵀAy (у мішаних стратегіях)
Правильно: D. Теорема мінімаксу Фон Неймана (1928): у грі з нульовою сумою max min = min max у змішаних стратегіях. A — неправда, значення може бути будь-яким. B — не обов'язково. C — може не мати сідлової точки в чистих стратегіях.
Не має рівноваги в чистих, але є в змішаних: (1/3, 1/3, 1/3)
D
Симетрична гра з рівновагою в K
Правильно: C. "Камінь-ножиці-папір" — симетрична гра з нульовою сумою. Чиста рівновага відсутня (із будь-якої пари один хоче відхилитись). Єдина рівновага Неша — рівномірна змішана стратегія p=(1/3,1/3,1/3). Значення гри = 0 (справедлива гра).
Теорема Неша: кожна скінченна гра має хоча б одну рівновагу Неша (у змішаних стратегіях)
6. Значення Шеплі для гравця i у кооперативній грі v — це:
A
v({i}) — виграш гравця наодинці
B
Зважена средня граничного внеску гравця по всіх можливих порядках приєднання
C
Максимальний виграш гравця i у грі з нульовою сумою
D
Виграш при рівновазі Неша
Правильно: B. Значення Шеплі φᵢ(v) = середня кількість, яку додає гравець i при під'єднанні до коаліції у випадковому порядку.
7. Чим відрізняється субгейм-перфектна (SGPE) рівновага від звичайної рівноваги Неша?
A
SGPE завжди максимізує загальний виграш
B
SGPE існує лише у статичних іграх
C
SGPE є рівновагою Неша в кожній підгрі (виключає незрозумілі погрози)
D
SGPE вимагає змішаних стратегій
Правильно: C. SGPE (розроблено Зелтеном) — рівновага Неша, яка є рівновагою в кожній підграфі. Це виключає "порожні погрози". Знаходиться методом зворотної індукції (backward induction). Концепція важлива у послідовних іграх (extensive form).
SGPE ⊂ Nash Equilibria (кожна SGPE — рівновага Неша, але не навпаки)
8. У повторюваній грі "Дилема в'язня" стратегія "Зуб за зуб" (Tit-for-Tat) означає:
A
Завжди зраджувати
B
На першому кроці мовчати, далі копіювати дію суперника з попереднього раунду
C
Завжди мовчати незалежно від суперника
D
Зраджувати через раунд
Правильно: B. Tit-for-Tat: старт = Cooperate (Мовчати), потім кожен раунд повторює хід суперника минулого раунду. Стратегія виграла турнір Аксельрода (1980). Ефективна при достатньому факторі дисконту δ: для підтримки кооперації потрібно δ ≥ (T−R)/(T−P).
9. Корова концепція "ядра" (core) в кооперативній теорії ігор:
A
Набір стратегій, що утворюють рівновагу Неша
B
Розподіл виграшів, що максимізує виграш грандкоаліції
C
Оптимум за Парето
D
Множина розподілів (x₁,...,xₙ), де жодна коаліція S не має стимулу відколотися від грандкоаліції
Правильно: D. Ядро (core) — це множина допустимих розподілів x: Σxᵢ=v(N), і для кожної коаліції S: Σᵢ∈ₛxᵢ ≥ v(S). Тобто ніхто не хоче відколюватись. Ядро може бути порожнім (наприклад, гра більшості 3 гравців). Значення Шеплі завжди існує, але може бути поза ядром.
Core = {x: Σxᵢ=v(N), ∀S⊆N: Σᵢ∈ₛxᵢ ≥ v(S)}
10. "Рівновага" у грі "Курка" (Chicken game): два водії їдуть назустріч. Перший, хто відхиляється, програє. Скільки рівноваг Неша у чистих стратегіях?
Правильно: B. У "Chicken game" є дві рівноваги в чистих стратегіях: (Відхилитись, Пряма) та (Пряма, Відхилитись) — у кожній один гравець "перемагає". Крім того, є рівновага в змішаних стратегіях — але це третя, не чиста. У (Пряма, Пряма) обидва хочуть відхилитись → не рівновага. У (Відх., Відх.) перший хоче змінити на Пряма → не рівновага.
Рівновага (Відх., Пряма): якщо гравець 2 грає Пряма, гравець 1 краще Відхилитись (−1 > −10) ✓ якщо гравець 1 грає Відх., гравець 2 краще Пряма (+1>0) ✓
Цей тест перевіряє розуміння ключових концепцій теми. Питання складені так, щоб виявити прогалини у знаннях і спрямувати вас до матеріалів для повторення.
Як підготуватися до тесту
Пройдіть тест до вивчення теми — щоб зрозуміти, що ви вже знаєте. Потім повторіть матеріал і пройдіть знову. Порівняйте результати — це покаже ефективність підготовки.
Часті запитання (FAQ)
Який матеріал перевіряє тест з теорії ігор?
Тест охоплює ключові концепції теми 'теорії ігор': означення, теореми, методи обчислень та вміння застосовувати знання до конкретних задач. Питання вибрані так, щоб виявити як теоретичне розуміння, так і практичні навички.
Скільки питань у тесті з теорії ігор і яка структура?
Тест з 'теорії ігор' включає питання різного типу: одиночний вибір, множинний вибір та числові відповіді. Структура відповідає стандартним університетським тестам, що робить підготовку максимально реалістичною.
Як підготуватися до тесту з теорії ігор?
Оптимальна підготовка до тесту з 'теорії ігор': вивчіть теоретичний матеріал за шпаргалкою → пройдіть тренажер вправ → ознайомтеся з розв'язаними задачами → пройдіть пробний тест → проаналізуйте помилки → повторіть слабкі місця.
Чи можна пройти тест з теорії ігор кілька разів?
Так, тест з 'теорії ігор' можна проходити необмежену кількість разів. Рекомендуємо: пройдіть до вивчення теми (базовий рівень), потім після — щоб виміряти прогрес. Порівняння результатів мотивує та показує ефективність навчання.
Де можна попрактикуватися перед тестом з теорії ігор?
Перед тестом з 'теорії ігор' рекомендуємо: тренажер вправ (інтерактивні задачі з поясненнями), розв'язані задачі (показують метод вирішення) та шпаргалку (швидкий довідник формул) — все доступно безкоштовно на calculator.party.