Калькулятор біноміального розподілу

Біноміальний розподіл — один із базових дискретних розподілів імовірностей, що описує кількість успіхів у серії з n незалежних випробувань Бернуллі зі сталою ймовірністю успіху p у кожному випробуванні. Використовується в статистиці, контролі якості, соціологічних дослідженнях та багатьох інших сферах.

Даний інструмент реалізує науково обґрунтований підхід до обчислень, що базується на перевірених математичних методах і стандартних формулах. Усі розрахунки виконуються у реальному часі безпосередньо у браузері — без відправки даних на сервер і без необхідності встановлювати додаткове програмне забезпечення. Інтерфейс оптимізований для зручного введення параметрів, відображення результатів з необхідною точністю та покрокових пояснень застосованих формул.

Розрахунок ймовірності

Формули біноміального розподілу

Ймовірність рівно k успіхів

P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) де: n — кількість незалежних випробувань p — ймовірність успіху в одному випробуванні k — кількість успіхів (0 ≤ k ≤ n) C(n,k) — біноміальний коефіцієнт (кількість сполучень)

Біноміальний коефіцієнт (мультиплікативна форма)

C(n,k) = П (i=1..k) (n − k + i) / i Приклад: C(10,5) = (6/1)·(7/2)·(8/3)·(9/4)·(10/5) = 252

Числові характеристики

Математичне сподівання: E(X) = n·p Дисперсія: Var(X) = n·p·(1−p) Стандартне відхилення: σ = √(n·p·(1−p))

Умови застосування

  • Фіксоване n — кількість випробувань відома заздалегідь і не змінюється
  • Незалежність — результат одного випробування не впливає на інші
  • Стала p — ймовірність успіху однакова в кожному випробуванні
  • Бінарний результат — кожне випробування має лише два наслідки: успіх або невдача
  • Ціле k — кількість успіхів завжди ціле число від 0 до n

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1: Чесну монету підкидають 10 разів. Яка ймовірність отримати рівно 5 «орлів»? (n=10, p=0,5, k=5)

Розв'язання:

C(10,5) = 10! / (5!·5!) = 252

P(X=5) = 252 · 0,5⁵ · 0,5⁵ = 252 · 0,5¹⁰ = 252 / 1024 = 0,2461

Відповідь: P(X=5) ≈ 0,2461 (24,61%). Середнє E(X) = 10·0,5 = 5, дисперсія Var(X) = 10·0,5·0,5 = 2,5.

Приклад 2: На виробництві частка бракованих деталей становить 5%. У партії з 20 деталей яка ймовірність, що рівно 2 виявляться бракованими? (n=20, p=0,05, k=2)

Розв'язання:

C(20,2) = 190

P(X=2) = 190 · 0,05² · 0,95¹⁸ = 190 · 0,0025 · 0,397215 ≈ 0,1887

Відповідь: P(X=2) ≈ 0,1887 (18,87%). Середнє E(X) = 20·0,05 = 1, дисперсія Var(X) = 20·0,05·0,95 = 0,95.

Приклад 3: У соціологічному опитуванні 60% респондентів підтримують ініціативу. Серед 8 випадково обраних людей яка ймовірність, що рівно 6 дадуть позитивну відповідь? (n=8, p=0,6, k=6)

Розв'язання:

C(8,6) = 28

P(X=6) = 28 · 0,6⁶ · 0,4² = 28 · 0,046656 · 0,16 ≈ 0,2090

Відповідь: P(X=6) ≈ 0,2090 (20,90%). Середнє E(X) = 8·0,6 = 4,8, дисперсія Var(X) = 8·0,6·0,4 = 1,92.

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Інструменти даного типу широко застосовуються в освіті, науці та інженерній практиці. Студенти використовують їх для перевірки домашніх та контрольних завдань, розуміння методів розв'язання та самоперевірки. Викладачі — для ілюстрації методів на лекціях і лабораторних. Інженери та науковці — для швидких оціночних розрахунків і верифікації результатів спеціалізованого програмного забезпечення. Простота доступу через браузер робить ці калькулятори незамінним інструментом як у навчальному процесі, так і в практичній роботі.

Часті запитання (FAQ)

Що таке біноміальний розподіл?
Біноміальний розподіл описує кількість «успіхів» у фіксованій кількості n незалежних випробувань, кожне з яких має лише два можливі наслідки (успіх/невдача) і сталу ймовірність успіху p. Обов'язкові умови: фіксоване n, незалежність випробувань, стала p для кожного випробування та бінарний результат.
Яка формула P(X=k) і що означає C(n,k)?
Ймовірність рівно k успіхів обчислюється за формулою P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k). Тут C(n,k) — біноміальний коефіцієнт (кількість сполучень з n елементів по k), що показує, скількома способами можна обрати, які саме k із n випробувань стали успішними, незалежно від порядку.
Як обчислюються середнє та дисперсія?
Математичне сподівання (середнє число успіхів) біноміального розподілу дорівнює E(X) = n·p. Дисперсія дорівнює Var(X) = n·p·(1−p), а стандартне відхилення — квадратний корінь із дисперсії: σ = √(n·p·(1−p)).
Де застосовується біноміальний розподіл на практиці?
Типові застосування: підкидання монети (кількість «орлів» у серії кидків), контроль якості на виробництві (кількість бракованих виробів у партії з відомою часткою браку), соціологічні опитування (кількість позитивних відповідей «так/ні») та клінічні випробування (кількість пацієнтів, які відповіли на лікування, за відомою ймовірністю успіху).
Як біноміальний розподіл пов'язаний з нормальним?
Згідно з центральною граничною теоремою, при великому n (і коли n·p та n·(1−p) достатньо великі, зазвичай ≥ 5–10) біноміальний розподіл добре наближається нормальним розподілом із середнім n·p та дисперсією n·p·(1−p). Це наближення спрощує обчислення для великих n, коли точні комбінаторні розрахунки стають громіздкими.

📁 Категорія: Статистика