Калькулятор операцій з комплексними числами

Комплексне число z = a + bi складається з дійсної частини a та уявної частини b, де i — уявна одиниця (i² = −1). Комплексні числа дозволяють виконувати арифметичні операції, які неможливі в межах дійсних чисел, і мають ключове значення в електротехніці, фізиці та обробці сигналів. Цей калькулятор виконує додавання, віднімання, множення та ділення двох комплексних чисел, а також обчислює модуль і аргумент першого числа.

Даний інструмент реалізує науково обґрунтований підхід до обчислень, що базується на перевірених математичних методах і стандартних формулах. Усі розрахунки виконуються у реальному часі безпосередньо у браузері — без відправки даних на сервер і без необхідності встановлювати додаткове програмне забезпечення. Інтерфейс оптимізований для зручного введення параметрів, відображення результатів з необхідною точністю та покрокових пояснень застосованих формул.

Розрахунок операцій з комплексними числами

Перше комплексне число (a + bi):

Друге комплексне число (c + di):

Формули операцій з комплексними числами

Додавання та віднімання

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Множення

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ділення (множення на спряжене знаменника)

(a + bi)/(c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²) де c² + d² ≠ 0

Модуль та аргумент

|a + bi| = √(a² + b²) arg(a + bi) = atan2(b, a)

Особливості обчислень

  • Ключова тотожність — i² = −1 лежить в основі всіх перетворень
  • Ділення на нуль — неможливе, якщо c² + d² = 0 (тобто друге число дорівнює 0)
  • Модуль і аргумент — обчислюються для першого введеного числа a + bi
  • Геометричний зміст — модуль це відстань до точки на комплексній площині, аргумент — кут нахилу вектора
  • Спряжене число — використовується під час ділення для позбавлення уявної частини у знаменнику

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1: Дано z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i. Знайдіть z₁ × z₂ та z₁ / z₂.

Розв'язання (множення):

(3 + 4i)(1 + 2i) = (3·1 − 4·2) + (3·2 + 4·1)i = (3 − 8) + (6 + 4)i = −5 + 10i

Розв'язання (ділення):

(3 + 4i)/(1 + 2i) = [(3·1 + 4·2) + (1·4 − 3·2)i] / (1² + 2²) = (11 − 2i) / 5 = 2,2 − 0,4i

Модуль z₁: |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5; аргумент z₁ ≈ 53,13°

Приклад 2: Дано z₁ = 5 − 3i, z₂ = −2 + i. Знайдіть z₁ + z₂ та z₁ × z₂.

Розв'язання (додавання):

(5 − 3i) + (−2 + i) = (5 + (−2)) + (−3 + 1)i = 3 − 2i

Розв'язання (множення):

(5 − 3i)(−2 + i) = (5·(−2) − (−3)·1) + (5·1 + (−2)·(−3))i = (−10 + 3) + (5 + 6)i = −7 + 11i

Модуль z₁: |5 − 3i| = √(25 + 9) = √34 ≈ 5,83; аргумент z₁ ≈ −30,96°

Приклад 3: Дано z₁ = 2 + 0i, z₂ = 0 + 3i. Знайдіть z₁ × z₂ та z₁ / z₂.

Розв'язання (множення):

(2 + 0i)(0 + 3i) = (2·0 − 0·3) + (2·3 + 0·0)i = 0 + 6i = 6i

Розв'язання (ділення):

(2 + 0i)/(0 + 3i) = [(2·0 + 0·3) + (0·0 − 2·3)i] / (0² + 3²) = (0 − 6i) / 9 = −0,667i

Модуль z₁: |2 + 0i| = √(4 + 0) = 2; аргумент z₁ = 0°

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Інструменти даного типу широко застосовуються в освіті, науці та інженерній практиці. Студенти використовують їх для перевірки домашніх та контрольних завдань, розуміння методів розв'язання та самоперевірки. Викладачі — для ілюстрації методів на лекціях і лабораторних. Інженери та науковці — для швидких оціночних розрахунків і верифікації результатів спеціалізованого програмного забезпечення. У електротехніці операції з комплексними числами застосовуються для аналізу кіл змінного струму (імпеданс, фазові зсуви), а в обробці сигналів — для перетворень Фур'є та проєктування фільтрів. Простота доступу через браузер робить ці калькулятори незамінним інструментом як у навчальному процесі, так і в практичній роботі.

Часті запитання (FAQ)

Що таке комплексне число?
Комплексне число має вигляд z = a + bi, де a — дійсна частина, b — уявна частина, а i — уявна одиниця, для якої i² = −1. Комплексні числа розширюють множину дійсних чисел і дозволяють розв'язувати рівняння, які не мають дійсних коренів, наприклад x² + 1 = 0.
Як додавати, віднімати, множити та ділити комплексні числа?
Додавання і віднімання виконуються окремо для дійсних і уявних частин: (a+bi)±(c+di) = (a±c)+(b±d)i. Множення: (a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i, з урахуванням i²=−1. Ділення виконується множенням чисельника і знаменника на спряжене знаменника: (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc−ad)i] / (c²+d²), де c²+d² ≠ 0.
Що таке модуль і аргумент комплексного числа геометрично?
На комплексній площині число z = a + bi зображується точкою (a, b). Модуль |z| = √(a²+b²) — це відстань від початку координат до цієї точки. Аргумент arg(z) = atan2(b, a) — це кут між додатним напрямком дійсної осі та вектором до точки (a, b), який вимірюється проти годинникової стрілки.
Де застосовуються комплексні числа на практиці?
Комплексні числа широко використовуються в електротехніці для аналізу кіл змінного струму (імпеданс, фазові зсуви між напругою і струмом), в обробці сигналів (перетворення Фур'є, фільтри), а також у квантовій механіці, теорії керування та гідродинаміці для опису коливальних і хвильових процесів.
Як комплексні числа пов'язані з формулою Ейлера?
Формула Ейлера e^(iφ) = cos(φ) + i·sin(φ) показує, що будь-яке комплексне число можна записати у показниковій формі z = |z|·e^(iφ), де φ = arg(z). Це спрощує множення, ділення та піднесення до степеня комплексних чисел, оскільки операції зводяться до дій з модулями та додавання/віднімання кутів.

📁 Категорія: Математика