Калькулятор теореми косинусів

Теорема косинусів (також відома як закон косинусів) - це узагальнення теореми Піфагора для довільних трикутників. Теорема косинусів пов'язує довжини сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Вона дозволяє знаходити третю сторону трикутника, якщо відомі дві сторони та кут між ними, або знаходити кут, якщо відомі всі три сторони. Теорема косинусів є одним з найважливіших інструментів у тригонометрії та геометрії та широко використовується в навігації, геодезії, інженерії та багатьох інших галузях. Наш калькулятор дозволяє обчислювати сторони та кути трикутника за теоремою косинусів.

Калькулятор теореми косинусів

Знаходження сторони за двома сторонами та кутом:

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

Знаходження кута за трьома сторонами:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

Формули теореми косинусів

Теорема косинусів

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)

де:
a, b, c - сторони трикутника
A, B, C - кути, протилежні сторонам a, b, c відповідно

Знаходження кута

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)
C = arccos((a² + b² - c²) / (2ab))

Аналогічно для інших кутів:
cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)
cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac)

Зв'язок з теоремою Піфагора

Якщо C = 90°, то cos(90°) = 0, і теорема косинусів стає:
c² = a² + b² - 2ab·0 = a² + b²
Це теорема Піфагора для прямокутного трикутника

Приклади розв'язання

Приклад 1: Знайти сторону c, якщо a = 5, b = 7, C = 60°.

c² = 5² + 7² - 2×5×7×cos(60°)

c² = 25 + 49 - 70×0.5 = 74 - 35 = 39

c = √39 ≈ 6.24

Приклад 2: Знайти кут C, якщо a = 5, b = 7, c = 6.

cos(C) = (5² + 7² - 6²) / (2×5×7) = (25 + 49 - 36) / 70 = 38/70 ≈ 0.543

C = arccos(0.543) ≈ 57.1°

Застосування теореми косинусів

Теорема косинусів використовується в:

  • Геометрії та тригонометрії
  • Навігації та геодезії
  • Інженерії та будівництві
  • Фізиці та механіці
  • Комп'ютерній графіці

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Геометричні розрахунки є основою будь-якої практичної діяльності, пов'язаної з простором. Будівництво та архітектура: площі перерізів балок, об'єми конструкцій, кути нахилу покрівель — все це геометрія. Геодезія та картографія: вимірювання відстаней та площ земельних ділянок потребують сферичної тригонометрії та проекцій. Комп'ютерна графіка та ігри: рендеринг 3D-сцен — це трикутники, вектори нормалей, проекції та рейтрейсинг. Астрономія: обчислення орбіт, відстаней і кутових розмірів небесних тіл. Медицина: КТ і МРТ реконструюють 3D-зображення з 2D-проекцій методами обернених радонівських перетворень (проективна геометрія).

Часті запитання (FAQ)

Що таке теорема косинусів?
Теорема косинусів - це формула, що пов'язує довжини сторін трикутника з косинусом одного з його кутів: c² = a² + b² - 2ab·cos(C). Вона є узагальненням теореми Піфагора для довільних трикутників.
Коли використовувати теорему косинусів?
Теорему косинусів використовують, коли відомі дві сторони та кут між ними (для знаходження третьої сторони) або коли відомі всі три сторони (для знаходження кута).
Як вибрати правильну формулу для геометричного обчислення?
Визначте тип фігури (плоска чи просторова), потім знайдіть відповідну формулу. Для плоских фігур обчислюють площу та периметр; для тіл — об'єм та бічну/повну поверхню. Уважно перевіряйте одиниці вимірювання: якщо лінійні розміри в метрах, площа буде в м², об'єм — у м³.
Де застосовуються геометричні обчислення в реальному житті?
Геометричні обчислення потрібні в будівництві (розрахунок матеріалів, планування), архітектурі, дизайні інтер'єру, ландшафтному плануванні, виробництві (розкрій матеріалів), геодезії та картографії. Знаючи формули площі та об'єму, ви зможете правильно оцінити витрати фарби, плитки, бетону чи ґрунту для будь-якого проекту.
Як користуватися цим калькулятором?
Введіть необхідні значення у відповідні поля та натисніть кнопку обчислення. Результат відобразиться одразу. Калькулятор підтримує десяткові числа та від'ємні значення — для введення від'ємного числа використовуйте знак мінус. Усі розрахунки виконуються онлайн без встановлення додаткового програмного забезпечення.

📁 Категорія: Геометрія