🔷 Калькулятор методу скінченних елементів

FEM для 1D та 2D задач: теплопровідність, деформації, рівняння Пуассона

📏 Розтяг-стиск стержня (1D)

Розрахунок переміщень та напружень у стержні під навантаженням методом скінченних елементів.

Граничні умови та навантаження:

Переміщення u(x):

Напруження σ(x):

🌡️ Теплопровідність 1D

Стаціонарний розподіл температури в стержні з урахуванням теплопровідності та конвекції.

Граничні умови:

°C
°C
-k·A·d²T/dx² = Q (рівняння теплопровідності)
Тепловий потік: q = -k·dT/dx

🔲 Рівняння Пуассона 2D

Розв'язання рівняння Пуассона -∇²u = f на прямокутній області.

Граничні умови (u на границі):

-∂²u/∂x² - ∂²u/∂y² = f(x,y)
Дискретизація: K·u = F

🔺 Плоска ферма

Аналіз плоскої ферми методом скінченних елементів.

📚 Теорія методу скінченних елементів

1. Основна ідея МСЕ

Метод скінченних елементів (FEM) — чисельний метод розв'язання диференціальних рівнянь шляхом дискретизації області на елементи та апроксимації розв'язку поліноміальними функціями форми.

Етапи МСЕ:

  1. Дискретизація області (створення сітки)
  2. Вибір функцій форми елементів
  3. Формування локальних матриць жорсткості
  4. Збірка глобальної системи
  5. Накладання граничних умов
  6. Розв'язання СЛАР
  7. Постобробка результатів

2. Лінійний елемент 1D

Функції форми:
N₁(ξ) = (1-ξ)/2, N₂(ξ) = (1+ξ)/2
де ξ ∈ [-1, 1]

Апроксимація: u(x) = N₁u₁ + N₂u₂

Матриця жорсткості (стержень):
K = (EA/L)[1, -1; -1, 1]

3. Трикутний елемент 2D

Функції форми (лінійні):
Nᵢ = (aᵢ + bᵢx + cᵢy)/(2A)

де A — площа трикутника
aᵢ = xⱼyₖ - xₖyⱼ
bᵢ = yⱼ - yₖ
cᵢ = xₖ - xⱼ

4. Задача теплопровідності

Диференціальне рівняння:
-∇·(k∇T) = Q

Варіаційна форма:
∫k∇T·∇v dΩ = ∫Qv dΩ + ∫qv dΓ

Матриця теплопровідності 1D:
K = (kA/L)[1, -1; -1, 1]

5. Граничні умови

Тип Назва Формулювання
I роду Діріхле u = u₀ на границі
II роду Нойман ∂u/∂n = q на границі
III роду Робін ∂u/∂n + αu = β

6. Збірка глобальної системи

Глобальна матриця жорсткості K та вектор навантажень F формуються шляхом накладання локальних матриць елементів:

K_global = Σ Aₑᵀ Kₑ Aₑ
F_global = Σ Aₑᵀ Fₑ

де Aₑ — матриця зв'язку локальної та глобальної нумерації

7. Типи елементів

Елемент Вузлів Застосування
Стержень 2 1D задачі, ферми
Трикутник T3 3 2D лінійний
Трикутник T6 6 2D квадратичний
Чотирикутник Q4 4 2D білінійний
Тетраедр 4 3D лінійний
Гексаедр 8 3D трилінійний

8. Збіжність МСЕ

Для забезпечення збіжності елементи повинні задовольняти:

  • Повнота: функції форми можуть відтворити всі поліноми до певного порядку
  • Сумісність: неперервність розв'язку між елементами
  • Patch test: елементи дають точний розв'язок для постійних полів
Похибка апроксимації:
||u - uₕ|| ≤ C·hᵖ⁺¹

де h — розмір елемента
p — порядок поліномів

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Інструменти даного типу широко застосовуються у навчальній та дослідницькій діяльності. Вони дозволяють швидко отримувати точні числові результати, перевіряти аналітичні розрахунки та моделювати різноманітні сценарії. Використання онлайн-калькуляторів значно прискорює роботу науковців, інженерів, студентів та спеціалістів-практиків, які щодня стикаються з відповідними обчислювальними задачами.

Часті запитання (FAQ)

Що таке хімічна рівновага?
Хімічна рівновага — стан системи, при якому швидкості прямої та зворотної реакцій рівні, і склад системи не змінюється з часом (в умовах незмінних зовнішніх умов). Рівновага описується константою рівноваги Kc або Kp. За принципом Ле-Шательє, зміна умов (температура, тиск, концентрація) зміщує рівновагу в бік, що компенсує цю зміну.
Як відрізнити кислоту від основи?
За теорією Бренстеда-Лоурі: кислота — донор протона (H⁺), основа — акцептор протона. За Арреніусом: кислота дисоціює з утворенням H⁺, основа — OH⁻. Кількісно кислотність оцінюється показником pH: pH < 7 — кисле середовище, pH = 7 — нейтральне, pH > 7 — лужне. Визначають за допомогою індикаторів або pH-метра.
Як користуватися цим калькулятором?
Введіть необхідні значення у відповідні поля та натисніть кнопку обчислення. Результат відобразиться одразу. Калькулятор підтримує десяткові числа та від'ємні значення — для введення від'ємного числа використовуйте знак мінус. Усі розрахунки виконуються онлайн без встановлення додаткового програмного забезпечення.
Чи можна використовувати калькулятор безкоштовно?
Так, усі калькулятори на сайті calculator.party повністю безкоштовні. Жодна реєстрація не потрібна — просто відкрийте сторінку та починайте обчислення. Калькулятори доступні 24/7 і працюють у будь-якому сучасному браузері на комп'ютері, планшеті або смартфоні.
Яка точність обчислень калькулятора?
Калькулятор використовує 64-бітну арифметику з плаваючою точкою (стандарт IEEE 754), що забезпечує точність до 15–16 значущих цифр. Для більшості практичних задач цього більш ніж достатньо. Результати округлюються до 4–6 значущих цифр для зручності читання.

📁 Категорія: Математика