Калькулятор нормального розподілу

Нормальний (Гаусів) розподіл — найважливіший неперервний розподіл ймовірностей, що описує безліч природних явищ: зріст людей, помилки вимірювань, фізичні характеристики, результати тестів. Задається двома параметрами: математичним сподіванням μ та стандартним відхиленням σ. Калькулятор обчислює ймовірності, z-оцінки та процентилі.

Калькулятор нормального розподілу

Параметри розподілу N(μ, σ²):

Формули нормального розподілу

Функція щільності

f(x) = (1 / (σ√(2π))) × exp(−(x − μ)² / (2σ²))

Z-стандартизація

z = (x − μ) / σ

Z-оцінка показує, на скільки стандартних відхилень x відрізняється від середнього.

Кумулятивна функція (наближення Абрамовіца–Стегана)

Φ(z) = P(Z ≤ z) — табличне або наближене значення

Числові характеристики

  • E[X] = μ (математичне сподівання)
  • Var(X) = σ² (дисперсія)
  • Med(X) = μ (медіана)
  • Mo(X) = μ (мода)

Правило трьох сигм (68-95-99.7)

P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 68.27% P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 95.45% P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 99.73%

Приклад: Зріст чоловіків: μ = 175 см, σ = 7 см.

  • 68% чоловіків мають зріст 168–182 см
  • 95% — 161–189 см
  • 99.7% — 154–196 см

Застосування нормального розподілу

  • Природничі науки: помилки вимірювань, фізичні характеристики
  • Соціологія: результати тестів IQ, SAT, НМТ
  • Фінанси: доходність акцій, VaR (Value at Risk)
  • Виробництво: контроль якості, допуски розмірів

Практичне значення та контекст

Коротка довідка

Гаус і Лежандр розробили метод найменших квадратів на початку XIX ст. Фішер заклав основи сучасної статистики в 1920-х роках.

Де застосовується

Медицина та клінічні дослідження: аналіз ефективності препаратів, контрольні групи. Соціальні науки: опитування, вибіркові методи, аналіз даних. Бізнес та фінанси: аналіз ринків, прогнозування, контроль якості. Наука про дані (Data Science): статистика є фундаментом ML/AI.

Часті запитання

Що таке стандартний нормальний розподіл?
Стандартний нормальний розподіл N(0,1) має μ=0 та σ=1. Будь-який нормальний розподіл можна звести до стандартного за допомогою z-перетворення z=(x-μ)/σ.
Де застосовується z-оцінка?
Z-оцінка показує положення значення відносно середнього у стандартних відхиленнях. Використовується для порівняння даних різних шкал, статистичних тестів (z-тест), швидкої оцінки ймовірностей.
Як визначити процентиль?
Процентиль p — це значення x таке, що P(X ≤ x) = p. Наприклад, 90-й процентиль при N(0,1) ≈ 1.28: 90% спостережень менші за це значення.
Яка різниця між генеральною сукупністю та вибіркою?
Генеральна сукупність — це весь набір об'єктів, що досліджуються (наприклад, всі студенти університету). Вибірка — підмножина генеральної сукупності, яку реально вимірюють. Статистичні оцінки (середнє, відхилення) обчислюються за вибіркою, але слугують для оцінки параметрів генеральної сукупності.
Коли використовувати середнє арифметичне, а коли медіану?
Середнє арифметичне підходить для симетричних розподілів без викидів (аномальних значень). Медіана краща при несиметричних розподілах або наявності викидів — наприклад, для аналізу доходів населення, де кілька наддоходів сильно завищили б середнє. Мода використовується для категоріальних або дискретних даних.

📁 Категорія: Ймовірність

📚 Читайте також: Нормальний розподіл на практиці: правило 68-95-99.7 і Z-оцінки