Калькулятор розкладу на прості дроби

Розклад раціонального дробу на прості (елементарні) дроби — фундаментальна техніка алгебри, що застосовується в інтегруванні, перетвореннях Лапласа та аналізі диференціальних рівнянь. Цей калькулятор розкладає дріб P(x)/[(x−r1)(x−r2)(x−r3)] методом накривання (Хевісайда) для 2 або 3 різних дійсних коренів знаменника.

Даний інструмент реалізує науково обґрунтований підхід до обчислень, що базується на перевірених математичних методах і стандартних формулах. Усі розрахунки виконуються у реальному часі безпосередньо у браузері — без відправки даних на сервер і без необхідності встановлювати додаткове програмне забезпечення. Інтерфейс оптимізований для зручного введення параметрів, відображення результатів з необхідною точністю та покрокових пояснень застосованих формул.

Розклад на прості дроби

Чисельник P(x) = c2·x² + c1·x + c0

Корені знаменника (мають бути різними)

Формула та метод обчислення

Загальний вигляд розкладу

P(x) A1 A2 An ───────────────── = ───── + ───── + ... + ───── (x−r1)(x−r2)...(x−rn) x−r1 x−r2 x−rn де deg(P) < n (степінь чисельника менший за кількість коренів)

Метод накривання (Хевісайда)

P(r_i) A_i = ───────────────────────── добуток (r_i − r_j) для всіх j ≠ i Приклад для 2 коренів: A1 = P(r1) / (r1 − r2) A2 = P(r2) / (r2 − r1) Приклад для 3 коренів: A1 = P(r1) / [(r1−r2)(r1−r3)] A2 = P(r2) / [(r2−r1)(r2−r3)] A3 = P(r3) / [(r3−r1)(r3−r2)]

Особливі випадки (поза межами калькулятора)

  • Кратні корені — якщо множник (x−r) повторюється k разів, розклад набуває вигляду A1/(x−r) + A2/(x−r)² + … + Ak/(x−r)^k; метод накривання безпосередньо дає лише коефіцієнт при найвищому степені
  • Незвідні квадратичні множники — якщо x²+px+q не має дійсних коренів, йому відповідає дріб (Ax+B)/(x²+px+q), а не A/(x−r)
  • Неправильний дріб — якщо степінь чисельника ≥ степеня знаменника, спочатку виконують ділення многочленів, виділяючи цілу частину
  • Комплексні корені — при обчисленнях над дійсними числами комплексно-спряжені корені об'єднують у незвідний квадратний тричлен

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1: Розкласти (3x+5) / [(x−1)(x+2)] на прості дроби.

Розв'язання: P(x) = 3x+5, r1 = 1, r2 = −2

A1 = P(1) / (1−(−2)) = (3+5) / 3 = 8/3

A2 = P(−2) / (−2−1) = (−6+5) / (−3) = 1/3

Відповідь: (3x+5)/[(x−1)(x+2)] = (8/3)/(x−1) + (1/3)/(x+2)

Перевірка: [(8/3)(x+2) + (1/3)(x−1)] / [(x−1)(x+2)] = [(8x+16+x−1)/3] / den = (9x+15)/3 = 3x+5 ✓

Приклад 2: Розкласти (2x²+3x+1) / [x(x−1)(x+1)] на прості дроби.

Розв'язання: P(x) = 2x²+3x+1, r1 = 0, r2 = 1, r3 = −1

A1 = P(0) / [(0−1)(0−(−1))] = 1 / (−1·1) = −1

A2 = P(1) / [(1−0)(1−(−1))] = 6 / (1·2) = 3

A3 = P(−1) / [(−1−0)(−1−1)] = 0 / (−1·−2) = 0

Відповідь: (2x²+3x+1)/[x(x−1)(x+1)] = −1/x + 3/(x−1) + 0/(x+1) = −1/x + 3/(x−1)

Перевірка: −1(x−1)(x+1) + 3x(x+1) = −(x²−1) + 3x²+3x = 2x²+3x+1 ✓

Приклад 3: Розкласти (x²−1) / [(x−2)(x−3)(x−5)] на прості дроби.

Розв'язання: P(x) = x²−1, r1 = 2, r2 = 3, r3 = 5

A1 = P(2) / [(2−3)(2−5)] = 3 / [(−1)(−3)] = 3/3 = 1

A2 = P(3) / [(3−2)(3−5)] = 8 / [(1)(−2)] = −4

A3 = P(5) / [(5−2)(5−3)] = 24 / [(3)(2)] = 4

Відповідь: (x²−1)/[(x−2)(x−3)(x−5)] = 1/(x−2) − 4/(x−3) + 4/(x−5)

Перевірка: 1·(x−3)(x−5) − 4·(x−2)(x−5) + 4·(x−2)(x−3) = (x²−8x+15) + (−4x²+28x−40) + (4x²−20x+24) = x²+0x−1 = x²−1 ✓

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Розклад на прості дроби — базовий інструмент математичного аналізу та інженерії. В курсах вищої математики він є ключовим кроком для інтегрування раціональних функцій: кожен елементарний дріб A/(x−r) інтегрується як A·ln|x−r|. В електротехніці й теорії автоматичного керування розклад передавальних функцій на прості дроби дозволяє знайти оберненого перетворення Лапласа й отримати часову характеристику системи. У прикладній математиці метод використовують при розв'язанні лінійних диференціальних рівнянь та розкладанні генератрис у комбінаториці. Метод накривання (Хевісайда), реалізований у цьому калькуляторі, дає студентам швидкий спосіб перевірити ручні обчислення без розв'язання систем лінійних рівнянь.

Часті запитання (FAQ)

Що таке розклад на прості дроби?
Розклад на прості (елементарні) дроби — це представлення раціонального дробу P(x)/Q(x), де степінь чисельника менший за степінь знаменника, у вигляді суми простіших дробів. Якщо знаменник розкладається на прості множники (x−r1)(x−r2)…(x−rn) з різними коренями, дріб записується як A1/(x−r1) + A2/(x−r2) + … + An/(x−rn).
Як працює метод Хевісайда (накривання)?
Метод накривання (cover-up method, метод Хевісайда) дозволяє швидко знайти коефіцієнти A_i для різних лінійних множників. Щоб знайти A_i, потрібно "накрити" множник (x−r_i) у знаменнику й підставити x = r_i у решту виразу: A_i = P(r_i) / добуток(r_i − r_j) для всіх j ≠ i. Це значно швидше за метод невизначених коефіцієнтів або прирівнювання систем рівнянь.
Навіщо потрібен розклад на прості дроби?
Розклад на прості дроби широко застосовується в математичному аналізі та інженерії: для інтегрування раціональних функцій (кожен простий дріб інтегрується елементарно як логарифм), для обчислення оберненого перетворення Лапласа в теорії керування та електротехніці, а також при розв'язанні лінійних диференціальних рівнянь і аналізі передавальних функцій.
Що робити, якщо знаменник має кратний корінь?
Якщо корінь r повторюється k разів (множник (x−r)^k), простий метод накривання для окремого коефіцієнта не застосовується напряму — розклад набуває вигляду A1/(x−r) + A2/(x−r)² + … + Ak/(x−r)^k. Коефіцієнти при вищих степенях знаходять через похідні P(x)/(інша частина знаменника) або методом невизначених коефіцієнтів. Цей калькулятор працює лише з різними (некратними) дійсними коренями.
Що робити з незвідними квадратичними множниками?
Якщо знаменник містить квадратний тричлен x²+px+q без дійсних коренів (незвідний над дійсними числами), йому відповідає дріб вигляду (Ax+B)/(x²+px+q), а не простий A/(x−r). Коефіцієнти A і B знаходять методом невизначених коефіцієнтів, прирівнюючи чисельники після зведення до спільного знаменника. Даний калькулятор розглядає лише випадок різних дійсних лінійних множників.

📁 Категорія: Математика