Калькулятор перестановок і комбінацій

Перестановки і комбінації — основні поняття комбінаторики, розділу математики, що вивчає способи вибору й упорядкування об'єктів. Перестановки враховують порядок елементів, комбінації — ні. Цей калькулятор обчислює число перестановок P(n,r), число комбінацій C(n,r) та число розміщень з повтореннями n^r для заданих значень n (загальна кількість елементів) і r (кількість обраних елементів).

Даний інструмент реалізує науково обґрунтований підхід до обчислень, що базується на перевірених математичних методах і стандартних формулах комбінаторики. Для уникнення переповнення при великих значеннях n використовується мультиплікативна формула обчислення C(n,r), а не пряме ділення факторіалів. Усі розрахунки виконуються у реальному часі безпосередньо у браузері — без відправки даних на сервер.

Розрахунок перестановок і комбінацій

Формули комбінаторики

Перестановки без повторень

P(n, r) = n! / (n − r)! Приклад: n = 5, r = 3 P(5,3) = 5! / 2! = (5×4×3×2×1) / (2×1) = 120 / 2 = 60

Комбінації без повторень

C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) = P(n,r) / r! Мультиплікативна форма (без переповнення): C(n, r) = Π (i=1..r) (n − r + i) / i Приклад: n = 5, r = 3 C(5,3) = 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10

Розміщення (перестановки) з повтореннями

Кількість = n^r Приклад: n = 10 (цифри 0–9), r = 3 (позиції PIN-коду) Кількість = 10³ = 1000

Властивість симетрії

C(n, r) = C(n, n − r) Приклад: C(10,3) = C(10,7) = 120

Коли яку формулу застосовувати

  • Перестановки P(n,r) — коли порядок вибраних елементів важливий і повторення не допускаються (розподіл призових місць)
  • Комбінації C(n,r) — коли порядок не важливий і повторення не допускаються (вибір лотерейних чисел, склад команди)
  • Розміщення з повтореннями n^r — коли один і той самий елемент можна обирати повторно (PIN-код, пароль із символів)
  • C(n,0) = C(n,n) = 1 — існує рівно один спосіб не вибрати нічого або вибрати все
  • P(n,n) = n! — кількість способів упорядкувати всі n елементів

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1 (перестановки): У забігу беруть участь 5 спортсменів. Скількома способами можна розподілити золоту, срібну та бронзову медалі?

Розв'язання: Порядок важливий (місця різні), повторення неможливі. n = 5, r = 3.

P(5,3) = 5! / (5−3)! = 5! / 2! = (5×4×3×2×1) / (2×1) = 120 / 2 = 60

Відповідь: 60 способів розподілу медалей.

Приклад 2 (комбінації): З групи 5 студентів потрібно обрати 3 для участі в проєкті (без розподілу ролей). Скількома способами це можна зробити?

Розв'язання: Порядок не важливий, повторення неможливі. n = 5, r = 3.

C(5,3) = 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10

Відповідь: 10 способів обрати трьох студентів.

Приклад 3 (з повтореннями): Скільки існує різних 3-значних PIN-кодів, якщо кожна позиція може містити будь-яку цифру від 0 до 9 (цифри можуть повторюватися)?

Розв'язання: Кожна з 3 позицій незалежно приймає одне з 10 значень. n = 10, r = 3.

Кількість = n^r = 10³ = 1000

Відповідь: 1000 різних PIN-кодів (від 000 до 999).

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Перестановки і комбінації широко застосовуються в теорії ймовірностей, статистиці, криптографії, інформатиці (аналіз алгоритмів, підрахунок кількості можливих станів), логістиці (планування маршрутів), генетиці (комбінації алелей) та повсякденних задачах — від розрахунку шансів у лотереї до складання розкладів і паролів. Розуміння різниці між перестановками та комбінаціями — базова навичка для розв'язання задач із теорії ймовірностей та підготовки до іспитів з математики.

Часті запитання (FAQ)

У чому різниця між перестановками і комбінаціями?
У перестановках порядок елементів має значення, а в комбінаціях — ні. Наприклад, вибір трьох людей на 1, 2 і 3 місце п'єдесталу — це перестановка (АБВ і БАВ — різні результати), а вибір трьох людей до складу комітету без розподілу ролей — це комбінація (АБВ і БАВ — той самий набір).
Які формули використовуються для P(n,r) і C(n,r)?
Число перестановок з n елементів по r: P(n,r) = n! / (n − r)!. Число комбінацій: C(n,r) = n! / (r! × (n − r)!) = P(n,r) / r!. Тут n! (факторіал) — добуток усіх натуральних чисел від 1 до n.
Чому C(n,r) дорівнює C(n, n−r)?
Це властивість симетрії біноміальних коефіцієнтів: обираючи r елементів із n, ми одночасно визначаємо, які (n − r) елементів залишаються невибраними. Кожному вибору з r елементів відповідає рівно один вибір з n − r елементів, тому кількість способів однакова: C(n,r) = C(n, n−r). Наприклад, C(10,3) = C(10,7) = 120.
Наведіть реальні приклади застосування перестановок і комбінацій
Комбінації застосовуються там, де порядок неважливий: вибір чисел у лотереї, формування команди з групи людей, вибір страв у меню. Перестановки застосовуються, коли порядок важливий: розподіл місць на п'єдесталі пошани (золото/срібло/бронза), складання розкладу занять, нумерація призових місць у конкурсі.
Як пов'язані комбінації з трикутником Паскаля?
Кожен елемент трикутника Паскаля — це значення біноміального коефіцієнта C(n,r), де n — номер рядка (починаючи з 0), а r — позиція елемента в рядку (також з 0). Наприклад, рядок 4 трикутника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1 відповідає C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4). Правило побудови трикутника (сума двох сусідніх чисел зверху) відповідає тотожності C(n,r) = C(n−1,r−1) + C(n−1,r).

📁 Категорія: Математика