Конвертер полярних і декартових координат

Полярні координати (r, θ) описують точку через відстань від початку координат і кут повороту, тоді як декартові координати (x, y) — через проєкції на осі. Цей калькулятор дозволяє миттєво перетворювати координати в обидва боки, коректно обробляючи всі чотири квадранти за допомогою функції atan2.

Даний інструмент реалізує науково обґрунтований підхід до обчислень, що базується на перевірених математичних методах і стандартних формулах. Усі розрахунки виконуються у реальному часі безпосередньо у браузері — без відправки даних на сервер і без необхідності встановлювати додаткове програмне забезпечення. Інтерфейс оптимізований для зручного введення параметрів, відображення результатів з необхідною точністю та покрокових пояснень застосованих формул.

Перетворення координат

Формули перетворення

Декартові → Полярні

r = √(x² + y²) θ = atan2(y, x) (у радіанах, для градусів × 180/π) Приклад: x = -3, y = 4 r = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 θ = atan2(4, -3) ≈ 2,2143 рад ≈ 126,87°

Полярні → Декартові

x = r · cos(θ) y = r · sin(θ) (θ спочатку перевести у радіани: θ_рад = θ° × π/180) Приклад: r = 10, θ = 210° θ_рад = 210 × π/180 ≈ 3,6652 рад x = 10 · cos(210°) = 10 · (-0,8660) ≈ -8,66 y = 10 · sin(210°) = 10 · (-0,5) = -5,00

Чому atan2, а не arctan

arctan(y/x) — діапазон лише (-90°, 90°), не розрізняє квадранти atan2(y, x) — діапазон (-180°, 180°], аналізує знаки x та y окремо Приклад помилки: (3,4) і (-3,-4) дають однакове y/x = 1,333, але arctan(1,333) ≈ 53,13° для обох — невірно для (-3,-4)! atan2(4,3) = 53,13°; atan2(-4,-3) = -126,87° — коректно

Правила визначення квадранта

  • Квадрант I (x > 0, y > 0) — θ від 0° до 90°
  • Квадрант II (x < 0, y > 0) — θ від 90° до 180°
  • Квадрант III (x < 0, y < 0) — θ від -180° до -90°
  • Квадрант IV (x > 0, y < 0) — θ від -90° до 0°
  • r завжди невід'ємне: r ≥ 0 за означенням відстані

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1 (квадрант I): Переведіть у полярні координати точку (x, y) = (3, 4).

Розв'язання:

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

θ = atan2(4, 3) ≈ 53,13° (обидві координати додатні → квадрант I)

Відповідь: (r, θ) = (5, 53,13°)

Приклад 2 (квадрант II): Переведіть у полярні координати точку (x, y) = (-3, 4).

Розв'язання:

r = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Звичайний arctan(4 / -3) = arctan(-1,333) ≈ -53,13° — це невірний квадрант (IV)!

atan2(4, -3) враховує, що x < 0, y > 0, тому додає 180°: θ ≈ 180° − 53,13° = 126,87°

Відповідь: (r, θ) = (5, 126,87°) — точка коректно потрапляє у квадрант II (x < 0, y > 0, 90° < θ < 180°)

Приклад 3 (квадрант III): Переведіть у декартові координати точку (r, θ) = (10, 210°).

Розв'язання:

θ_рад = 210° × π/180 ≈ 3,6652 рад

x = 10 · cos(210°) = 10 × (-0,8660) ≈ -8,66

y = 10 · sin(210°) = 10 × (-0,5) = -5,00

Відповідь: (x, y) ≈ (-8,66, -5,00) — обидві координати від'ємні, точка у квадранті III, що узгоджується з кутом 210° (діапазон 180°–270°)

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Полярні координати — фундаментальний інструмент у навігації та GPS-системах, де положення об'єктів природно описується через пеленг (азимут) і відстань, а не через прямокутні зміщення. У фізиці вони спрощують опис векторних величин — сили, швидкості, електричного та магнітного поля — через модуль і напрямок. У робототехніці полярні координати використовуються для керування маніпуляторами з обертальними суглобами та для планування траєкторій дронів і мобільних роботів. Комплексний аналіз спирається на полярну (тригонометричну) форму запису чисел, що суттєво спрощує множення, ділення та піднесення до степеня. Простота доступу через браузер робить ці калькулятори незамінним інструментом як у навчальному процесі, так і в практичній інженерній роботі.

Часті запитання (FAQ)

Що таке полярні координати?
Полярна система координат визначає положення точки на площині двома числами: відстанню r від початку координат (полюса) та кутом θ, який відраховується від додатного напрямку осі x проти годинникової стрілки. На відміну від декартових координат (x, y), полярні зручні для опису кругових і обертальних рухів, спіралей та явищ з радіальною симетрією.
Як перевести декартові координати в полярні і навпаки?
З декартових у полярні: r = √(x² + y²), θ = atan2(y, x). З полярних у декартові: x = r·cos(θ), y = r·sin(θ). При зворотному перетворенні кут θ спочатку слід перевести з градусів у радіани (θ_рад = θ° × π/180), оскільки функції cos і sin у більшості мов програмування працюють з радіанами.
Чому потрібно використовувати atan2, а не звичайний arctan?
Звичайна функція arctan(y/x) повертає кут лише в діапазоні від −90° до 90° і не розрізняє протилежні напрямки — наприклад, точки (3,4) і (−3,−4) дають однакове значення y/x, хоча лежать у різних квадрантах. Функція atan2(y, x) приймає обидва аргументи окремо, аналізує знаки x і y та коректно визначає кут у повному діапазоні від −180° до 180°, охоплюючи всі чотири квадранти.
Де застосовуються полярні координати на практиці?
Полярні координати широко застосовуються в навігації та GPS для визначення пеленгу (азимута) та відстані до об'єкта, у фізиці для опису векторних величин (сила, швидкість, електричне поле) через модуль і напрямок, у робототехніці для керування маніпуляторами та маршрутизації дронів, а також у радіолокації, астрономії та обробці сигналів.
Як полярні координати пов'язані з комплексними числами?
Комплексне число z = x + yi можна записати у полярній (тригонометричній) формі z = r(cos θ + i·sin θ), де r — це модуль числа |z| = √(x² + y²), а θ — його аргумент arg(z). Ця форма спрощує множення, ділення та піднесення до степеня комплексних чисел (формула Муавра) і є прямим застосуванням тих самих формул переходу між декартовими і полярними координатами.

📁 Категорія: Математика