Калькулятор коренів полінома

Калькулятор для знаходження коренів квадратних (ax² + bx + c = 0) і кубічних (ax³ + bx² + cx + d = 0) рівнянь. Обчислює як дійсні, так і комплексні корені, використовуючи дискримінант для квадратних рівнянь і метод Кардано (включно з тригонометричним випадком трьох дійсних коренів) для кубічних.

Даний інструмент реалізує науково обґрунтований підхід до обчислень, що базується на перевірених математичних методах і стандартних формулах. Усі розрахунки виконуються у реальному часі безпосередньо у браузері — без відправки даних на сервер і без необхідності встановлювати додаткове програмне забезпечення. Інтерфейс оптимізований для зручного введення параметрів, відображення результатів з необхідною точністю та покрокових пояснень застосованих формул.

Розрахунок коренів

Формули

Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0

D = b² − 4ac D > 0: x1,2 = (−b ± √D) / (2a) — два дійсні корені D = 0: x = −b / (2a) — один корінь кратності 2 D < 0: x1,2 = (−b ± i√|D|) / (2a) — два комплексно-спряжені корені

Кубічне рівняння ax³ + bx² + cx + d = 0 (метод Кардано)

Підстановка x = t − b/(3a) зводить рівняння до депресованого вигляду: t³ + pt + q = 0 p = (3ac − b²) / (3a²) q = (2b³ − 9abc + 27a²d) / (27a³) Дискримінант депресованого рівняння: Δ = (q/2)² + (p/3)³ Δ > 0: один дійсний корінь + пара комплексно-спряжених u = ∛(−q/2 + √Δ), v = ∛(−q/2 − √Δ) t1 = u + v (дійсний) t2,3 = −(u+v)/2 ± i·(u−v)·√3/2 Δ < 0: три різні дійсні корені (casus irreducibilis, тригонометрична форма) tk = 2√(−p/3) · cos( (1/3)·arccos( (3q)/(2p)·√(−3/p) ) − 2πk/3 ), k = 0,1,2 Δ = 0: кратні дійсні корені

Особливості розв'язку

  • Основна теорема алгебри — поліном степеня n завжди має рівно n коренів (з урахуванням кратності) у комплексних числах
  • Комплексно-спряжені пари — для дійсних коефіцієнтів комплексні корені завжди йдуть парами p ± qi
  • Casus irreducibilis — у кубічних рівняннях з трьома дійсними коренями формула Кардано потребує тригонометричної форми через проміжні комплексні значення
  • Умова a ≠ 0 — якщо a = 0, рівняння втрачає відповідний степінь і не є квадратним/кубічним
  • Чисельна похибка — результати заокруглюються до 4 знаків після коми через обмеження чисел з рухомою комою

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1 (квадратне, дійсні корені): Розв'яжіть x² − 5x + 6 = 0.

Розв'язання:

D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1

x1,2 = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2

Відповідь: x1 = 3, x2 = 2. Перевірка: 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓; 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓

Приклад 2 (квадратне, комплексні корені): Розв'яжіть x² + 2x + 5 = 0.

Розв'язання:

D = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 (D < 0)

x1,2 = (−2 ± √16·i) / 2 = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i

Відповідь: x1 = −1 + 2i, x2 = −1 − 2i. Перевірка: (−1+2i)² + 2(−1+2i) + 5 = (1 − 4i − 4) + (−2 + 4i) + 5 = (−3 − 4i) + (−2 + 4i) + 5 = 0 ✓

Приклад 3 (кубічне, три дійсні корені): Розв'яжіть x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.

Розв'язання:

Зведення до депресованого вигляду: p = (3·1·11 − (−6)²)/(3·1²) = (33 − 36)/3 = −1

q = (2·(−6)³ − 9·1·(−6)·11 + 27·1²·(−6)) / 27 = (−432 + 594 − 162)/27 = 0

Δ = (0/2)² + (−1/3)³ = −1/27 < 0 → три дійсні корені (тригонометрична форма)

φ = arccos( (3·0)/(2·(−1))·√(−3/(−1)) ) = arccos(0) = π/2

t0 = 2√(1/3)·cos(π/6) = 1, t1 = 2√(1/3)·cos(π/6 − 2π/3) = 0, t2 = 2√(1/3)·cos(π/6 − 4π/3) = −1

Зсув: −b/(3a) = 6/3 = 2, тому x = t + 2: x0 = 3, x1 = 2, x2 = 1

Відповідь: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. Перевірка: 1³−6·1²+11·1−6=0 ✓; 2³−6·2²+11·2−6=8−24+22−6=0 ✓; 3³−6·3²+11·3−6=27−54+33−6=0 ✓ (рівняння тотожне (x−1)(x−2)(x−3))

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Інструменти даного типу широко застосовуються в освіті, науці та інженерній практиці. Студенти використовують їх для перевірки домашніх та контрольних завдань, розуміння методів розв'язання та самоперевірки. Викладачі — для ілюстрації методів на лекціях і лабораторних. Інженери та науковці — для швидких оціночних розрахунків і верифікації результатів спеціалізованого програмного забезпечення. Пошук коренів поліномів застосовується в системах керування (аналіз стійкості через корені характеристичного рівняння), фізиці коливань, комп'ютерній графіці та економічному моделюванні. Простота доступу через браузер робить ці калькулятори незамінним інструментом як у навчальному процесі, так і в практичній роботі.

Часті запитання (FAQ)

Яка формула коренів квадратного рівняння?
Для рівняння ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) корені знаходяться за формулою x = (−b ± √D) / (2a), де D = b² − 4ac — дискримінант. Якщо D ≥ 0, корені дійсні; якщо D < 0, корені комплексні.
Що означає дискримінант і як він впливає на кількість коренів?
Дискримінант D = b² − 4ac визначає характер коренів квадратного рівняння: D > 0 — два різні дійсні корені, D = 0 — один дійсний корінь кратності 2, D < 0 — два комплексно-спряжені корені (без дійсних розв'язків).
Що таке метод Кардано для кубічних рівнянь?
Метод Кардано — класичний аналітичний спосіб розв'язання кубічного рівняння ax³ + bx² + cx + d = 0. Спочатку рівняння зводять до «депресованого» вигляду t³ + pt + q = 0 підстановкою x = t − b/(3a), а потім знаходять корені через кубічні радикали. Якщо дискримінант депресованого рівняння від'ємний (три дійсні корені), використовують тригонометричну форму методу через arccos, оскільки прямі радикали дають комплексні проміжні значення (casus irreducibilis).
Що таке комплексні корені і чому вони виникають?
Комплексні корені мають вигляд p ± qi, де i — уявна одиниця (i² = −1). Вони виникають, коли рівняння не має розв'язків серед дійсних чисел, наприклад при від'ємному дискримінанті квадратного рівняння. Комплексні корені завжди утворюють спряжені пари для поліномів із дійсними коефіцієнтами.
Скільки коренів має поліном за основною теоремою алгебри?
Основна теорема алгебри стверджує, що поліном степеня n з комплексними (або дійсними) коефіцієнтами має рівно n коренів у полі комплексних чисел, якщо рахувати кожен корінь з його кратністю. Тобто квадратне рівняння завжди має 2 корені, а кубічне — рівно 3, серед яких можуть бути дійсні та/або комплексні.

📁 Категорія: Математика