Калькулятор квадратних рівнянь

Квадратне рівняння - це рівняння другого степеня виду ax² + bx + c = 0, де a, b, c - коефіцієнти, причому a ≠ 0. Квадратні рівняння є одним з найважливіших типів рівнянь в алгебрі та мають широке застосування в математиці, фізиці, інженерії та багатьох інших сферах. Розв'язання квадратних рівнянь виконується за допомогою дискримінанта та формули коренів, які дозволяють знайти всі розв'язки рівняння. Наш калькулятор квадратних рівнянь дозволяє швидко та точно розв'язати будь-яке квадратне рівняння, визначити тип коренів (дійсні або комплексні), обчислити дискримінант та відобразити детальний розв'язок з поясненнями кожного кроку.

Калькулятор квадратних рівнянь

Введіть коефіцієнти рівняння ax² + bx + c = 0:

Формули та методи розв'язання

Загальний вигляд квадратного рівняння

Квадратне рівняння завжди має вигляд:

ax² + bx + c = 0

де a ≠ 0, а коефіцієнти a, b, c можуть бути будь-якими дійсними числами.

Дискримінант

Дискримінант квадратного рівняння обчислюється за формулою:

D = b² - 4ac

Дискримінант визначає тип та кількість коренів рівняння:

  • D > 0: Рівняння має два різних дійсних корені
  • D = 0: Рівняння має один дійсний корінь (подвійний корінь)
  • D < 0: Рівняння має два комплексних корені

Формула коренів квадратного рівняння

Корені квадратного рівняння обчислюються за формулою:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

Або в розгорнутому вигляді:

x₁ = (-b + √D) / (2a)
x₂ = (-b - √D) / (2a)

Приклади розв'язання

Приклад 1: x² - 5x + 6 = 0

a = 1, b = -5, c = 6

D = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1

D > 0, тому два корені:

x₁ = (5 + 1) / 2 = 3

x₂ = (5 - 1) / 2 = 2

Відповідь: x₁ = 3, x₂ = 2

Приклад 2: x² - 4x + 4 = 0

a = 1, b = -4, c = 4

D = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0

D = 0, тому один подвійний корінь:

x = 4 / 2 = 2

Відповідь: x = 2 (подвійний корінь)

Теорема Вієта

Для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 з коренями x₁ та x₂ справедливі співвідношення:

x₁ + x₂ = -b/a
x₁ × x₂ = c/a

Ця теорема корисна для перевірки правильності розв'язання та для складання рівняння за відомими коренями.

Застосування квадратних рівнянь

Квадратні рівняння мають широке практичне застосування у багатьох сферах:

Фізика

  • Рух під дією сили тяжіння (h = vt - ½gt²)
  • Оптичні системи та фокусні відстані
  • Електричні кола та резонансні частоти
  • Кінематика руху з постійним прискоренням

Геометрія

  • Обчислення довжин сторін прямокутних трикутників
  • Площа та периметр фігур з квадратичними залежностями
  • Задачі на перетин кривих та прямих

Економіка та бізнес

  • Визначення точки беззбитковості
  • Максимізація прибутку та оптимізація витрат
  • Моделі попиту та пропозиції

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Інструменти даного типу широко застосовуються у навчальній та дослідницькій діяльності. Вони дозволяють швидко отримувати точні числові результати, перевіряти аналітичні розрахунки та моделювати різноманітні сценарії. Використання онлайн-калькуляторів значно прискорює роботу науковців, інженерів, студентів та спеціалістів-практиків, які щодня стикаються з відповідними обчислювальними задачами.

🏋️

Тренажер: квадратні рівняння

Розв'яжіть 5 задач на квадратні рівняння та перевірте себе!

Спробувати →

📚 Читайте також

📖

Квадратні рівняння: повне пояснення

Теорія, методи розв'язання (дискримінант, Вієта), поширені помилки та практичні задачі.

Часті запитання (FAQ)

Що таке квадратне рівняння?
Квадратне рівняння - це рівняння другого степеня виду ax² + bx + c = 0, де a, b, c - коефіцієнти (a ≠ 0), а x - змінна. Назва "квадратне" походить від того, що найвищий степінь змінної дорівнює 2 (квадрат).
Що таке дискримінант?
Дискримінант (D = b² - 4ac) - це вираз, що визначає кількість та тип коренів квадратного рівняння. Якщо D > 0 - два дійсних корені, D = 0 - один подвійний корінь, D < 0 - два комплексних корені.
Що робити, якщо a = 0?
Якщо a = 0, то рівняння не є квадратним, а стає лінійним рівнянням bx + c = 0. Лінійне рівняння має один розв'язок: x = -c/b (якщо b ≠ 0).
Як розв'язати квадратне рівняння без дискримінанта?
Деякі квадратні рівняння можна розв'язати методом розкладання на множники (факторизації), виділення повного квадрата або через теорему Вієта (для цілих коренів). Але загальний метод через дискримінант завжди працює.
Що таке подвійний корінь?
Подвійний корінь - це корінь кратності 2, коли дискримінант дорівнює нулю. У цьому випадку обидва корені рівняння збігаються: x₁ = x₂ = -b/(2a).
Що таке комплексні корені?
Якщо дискримінант від'ємний (D < 0), то рівняння має два комплексних корені виду x = (-b ± i√|D|)/(2a), де i - уявна одиниця (i² = -1). Комплексні корені завжди є сполученими.
Як працює теорема Вієта?
Теорема Вієта встановлює зв'язок між коренями та коефіцієнтами: сума коренів дорівнює -b/a, а добуток коренів дорівнює c/a. Це корисна теорема для перевірки розв'язків та складання рівнянь.
Чи може квадратне рівняння не мати розв'язків?
Квадратне рівняння завжди має розв'язки, але вони можуть бути дійсними або комплексними. Якщо дискримінант від'ємний, рівняння не має дійсних розв'язків, але має два комплексних.
Як побудувати графік квадратичної функції?
Графік квадратичної функції y = ax² + bx + c - це парабола. Вершина параболи знаходиться в точці x = -b/(2a). Якщо a > 0, парабола відкрита вгору, якщо a < 0 - вниз. Корені рівняння - це точки перетину параболи з віссю x.
Що таке неповні квадратні рівняння?
Неповні квадратні рівняння - це рівняння, де один або два коефіцієнти дорівнюють нулю: ax² = 0 (тільки один корінь x = 0), ax² + bx = 0 (корені x = 0 та x = -b/a), ax² + c = 0 (розв'язується як x = ±√(-c/a)).

📁 Категорія: Математика