Калькулятор дисперсії

Дисперсія - це міра розкиду даних, що показує, наскільки значення відрізняються від середнього значення. Дисперсія обчислюється як середнє арифметичне квадратів відхилень значень від середнього. Велика дисперсія означає, що дані сильно розкидані, мала дисперсія - що дані зосереджені навколо середнього. Дисперсія є одним з найважливіших показників в статистиці, що використовується для аналізу даних, оцінки ризиків, контролю якості та багатьох інших застосувань. Наш калькулятор дозволяє обчислювати дисперсію вибірки та генеральної сукупності для будь-якого набору даних.

Калькулятор дисперсії

Розрахунок дисперсії:

σ² = Σ(xᵢ - x̄)² / n (генеральна сукупність) або s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1) (вибірка)

Формули дисперсії

Дисперсія генеральної сукупності

σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
де:
σ² - дисперсія генеральної сукупності
xᵢ - окремі значення
μ - середнє значення генеральної сукупності
N - кількість значень

Дисперсія вибірки

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1)
де:
s² - дисперсія вибірки
xᵢ - окремі значення
x̄ - середнє значення вибірки
n - кількість значень
(n - 1) - корекція Бесселя для незміщеної оцінки

Альтернативна формула

σ² = (Σxᵢ² / N) - μ²
s² = (Σxᵢ² / (n-1)) - (n/(n-1))x̄²

Приклади розв'язання

Приклад: Знайти дисперсію вибірки: 10, 20, 30, 40, 50.

Середнє: x̄ = (10 + 20 + 30 + 40 + 50) / 5 = 30

Відхилення: (10-30)² = 400, (20-30)² = 100, (30-30)² = 0, (40-30)² = 100, (50-30)² = 400

Сума квадратів: 400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000

Дисперсія: s² = 1000 / (5-1) = 250

Застосування дисперсії

Дисперсія використовується для:

  • Оцінки розкиду даних
  • Контролю якості та стабільності процесів
  • Оцінки ризиків у фінансах
  • Статистичного аналізу та тестування гіпотез
  • Порівняння різних наборів даних

Практичне значення та контекст

Коротка довідка

Гаус і Лежандр розробили метод найменших квадратів на початку XIX ст. Фішер заклав основи сучасної статистики в 1920-х роках.

Де застосовується

Медицина та клінічні дослідження: аналіз ефективності препаратів, контрольні групи. Соціальні науки: опитування, вибіркові методи, аналіз даних. Бізнес та фінанси: аналіз ринків, прогнозування, контроль якості. Наука про дані (Data Science): статистика є фундаментом ML/AI.

Часті запитання (FAQ)

Що таке дисперсія?
Дисперсія - це міра розкиду даних, що показує середнє арифметичне квадратів відхилень значень від середнього. Велика дисперсія означає великий розкид даних, мала дисперсія - малий розкид.
Яка різниця між дисперсією вибірки та генеральної сукупності?
Дисперсія генеральної сукупності обчислюється з діленням на N, а дисперсія вибірки - на (n-1). Ділення на (n-1) дає незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності (корекція Бесселя).
Яка різниця між генеральною сукупністю та вибіркою?
Генеральна сукупність — це весь набір об'єктів, що досліджуються (наприклад, всі студенти університету). Вибірка — підмножина генеральної сукупності, яку реально вимірюють. Статистичні оцінки (середнє, відхилення) обчислюються за вибіркою, але слугують для оцінки параметрів генеральної сукупності.
Коли використовувати середнє арифметичне, а коли медіану?
Середнє арифметичне підходить для симетричних розподілів без викидів (аномальних значень). Медіана краща при несиметричних розподілах або наявності викидів — наприклад, для аналізу доходів населення, де кілька наддоходів сильно завищили б середнє. Мода використовується для категоріальних або дискретних даних.
Як користуватися цим калькулятором?
Введіть необхідні значення у відповідні поля та натисніть кнопку обчислення. Результат відобразиться одразу. Калькулятор підтримує десяткові числа та від'ємні значення — для введення від'ємного числа використовуйте знак мінус. Усі розрахунки виконуються онлайн без встановлення додаткового програмного забезпечення.

📁 Категорія: Статистика