Калькулятор векторного добутку

Векторний добуток (cross product) — це операція над двома векторами у тривимірному просторі, результатом якої є новий вектор, перпендикулярний обом вихідним. Широко застосовується у фізиці (момент сили, момент імпульсу), геометрії (площа паралелограма) та комп'ютерній графіці (обчислення нормалей до поверхонь).

Даний інструмент реалізує науково обґрунтований підхід до обчислень, що базується на перевірених математичних методах і стандартних формулах. Усі розрахунки виконуються у реальному часі безпосередньо у браузері — без відправки даних на сервер і без необхідності встановлювати додаткове програмне забезпечення. Інтерфейс оптимізований для зручного введення параметрів, відображення результатів з необхідною точністю та покрокових пояснень застосованих формул.

Розрахунок векторного добутку

Формули

Координати векторного добутку

a × b = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx) Еквівалент через визначник: | i j k | a × b = | ax ay az | | bx by bz |

Модуль (довжина) результату

|a × b| = √(cx² + cy² + cz²) |a × b| = |a|·|b|·sin θ Це чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b.

Кут між векторами (через скалярний добуток)

a·b = ax·bx + ay·by + az·bz cos θ = (a·b) / (|a|·|b|) θ = arccos( (a·b) / (|a|·|b|) )

Властивості векторного добутку

  • Антикомутативність — a × b = −(b × a), порядок множників важливий
  • Перпендикулярність — вектор a × b завжди перпендикулярний і до a, і до b
  • Колінеарність — якщо a × b = 0 (і жоден з векторів не нульовий), вектори a і b паралельні
  • Не асоціативний — (a × b) × c ≠ a × (b × c) у загальному випадку
  • Дистрибутивність — a × (b + c) = a × b + a × c
  • Правило правої руки — визначає напрямок результуючого вектора

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1: Знайдіть векторний добуток ортів i = (1, 0, 0) та j = (0, 1, 0).

Розв'язання:

cx = ay·bz − az·by = 0·0 − 0·1 = 0

cy = az·bx − ax·bz = 0·0 − 1·0 = 0

cz = ax·by − ay·bx = 1·1 − 0·0 = 1

Відповідь: i × j = (0, 0, 1) = k — базовий орт координатної осі Z, що демонструє правило правої руки.

Приклад 2: Вектори a = (2, 0, 0) і b = (0, 3, 0) лежать у площині XY та перпендикулярні один одному. Знайдіть a × b і площу паралелограма.

Розв'язання:

cx = 0·0 − 0·3 = 0

cy = 0·0 − 2·0 = 0

cz = 2·3 − 0·0 = 6

a × b = (0, 0, 6), |a × b| = 6

Відповідь: Оскільки вектори перпендикулярні, паралелограм є прямокутником зі сторонами 2 і 3, тож площа = 2 × 3 = 6 — результат збігається з довжиною векторного добутку.

Приклад 3: Знайдіть векторний добуток a = (3, −1, 2) і b = (1, 4, −2).

Розв'язання:

cx = ay·bz − az·by = (−1)·(−2) − 2·4 = 2 − 8 = −6

cy = az·bx − ax·bz = 2·1 − 3·(−2) = 2 + 6 = 8

cz = ax·by − ay·bx = 3·4 − (−1)·1 = 12 + 1 = 13

a × b = (−6, 8, 13), |a × b| = √(36 + 64 + 169) = √269 ≈ 16,40

Перевірка: (a×b)·a = −6·3 + 8·(−1) + 13·2 = −18 − 8 + 26 = 0 і (a×b)·b = −6·1 + 8·4 + 13·(−2) = −6 + 32 − 26 = 0 — результат дійсно перпендикулярний обом векторам.

Практичне значення та контекст

Де застосовується

Векторний добуток є фундаментальним інструментом у фізиці, інженерії та комп'ютерній графіці. У механіці він дозволяє обчислити момент сили τ = r × F та момент імпульсу L = r × p, що критично важливо для аналізу обертального руху. В електродинаміці векторний добуток входить у формулу сили Лоренца та у визначення вектора Пойнтінга. У 3D-графіці та ігрових рушіях векторний добуток координат двох ребер трикутника дає вектор нормалі до поверхні, що використовується для розрахунку освітлення, затінення та колізій. Студенти технічних спеціальностей використовують подібні калькулятори для перевірки домашніх завдань з лінійної алгебри та аналітичної геометрії, а інженери — для швидкої верифікації результатів CAD- та CAE-систем.

Часті запитання (FAQ)

Що таке векторний добуток?
Векторний добуток (cross product) двох векторів a і b у тривимірному просторі — це новий вектор c = a × b, перпендикулярний до обох вихідних векторів a і b. Його напрямок визначається правилом правої руки, а довжина дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах. На відміну від скалярного добутку, результат векторного добутку — це вектор, а не число.
Як обчислити векторний добуток за формулою?
Для векторів a = (ax, ay, az) та b = (bx, by, bz) координати результату обчислюються так: cx = ay·bz − az·by, cy = az·bx − ax·bz, cz = ax·by − ay·bx. Це еквівалентно обчисленню визначника 3×3 матриці, складеної з ортів i, j, k та координат векторів a і b.
Який геометричний зміст векторного добутку?
Модуль векторного добутку |a × b| = |a|·|b|·sin θ дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b, де θ — кут між ними. Напрямок отриманого вектора перпендикулярний площині, у якій лежать a і b, і визначається правилом правої руки: якщо пальці правої руки згинаються від a до b, великий палець вказує напрямок a × b.
Чим векторний добуток відрізняється від скалярного?
Скалярний добуток a·b повертає число (скаляр) і дорівнює |a|·|b|·cos θ, характеризуючи проєкцію одного вектора на інший. Векторний добуток a×b повертає вектор, перпендикулярний обом вихідним векторам, і використовує sin θ замість cos θ. Крім того, векторний добуток антикомутативний: a×b = −(b×a), тоді як скалярний добуток комутативний.
Де застосовується векторний добуток на практиці?
У фізиці векторний добуток використовується для обчислення моменту сили (крутного моменту) τ = r × F, моменту імпульсу L = r × p та сили Лоренца F = q(v × B). У комп'ютерній графіці та 3D-моделюванні він застосовується для знаходження нормалі до поверхні трикутника, необхідної для освітлення та рендерингу. Також векторний добуток використовують для перевірки колінеарності векторів і обчислення площ фігур.

📁 Категорія: Математика