📖 Теоретичний матеріал
Складні відсотки
Складні відсотки — це нарахування відсотків на суму, до якої вже додані раніше нараховані відсотки (капіталізація).
Формула складних відсотків
S — кінцева сума
P — початкова сума (вклад)
r — річна ставка (%)
n — кількість років
З періодичним нарахуванням
Якщо відсотки нараховуються m разів на рік:
m = 12 — щомісячне нарахування; m = 4 — щоквартальне; m = 365 — щоденне.
Різниця між простими і складними
Прості відсотки: S = P × (1 + r×n/100) — лінійне зростання.
Складні відсотки: S = P × (1 + r/100)ⁿ — експоненційне зростання.
📘 Приклад 1: Порівняння простих і складних відсотків
Вклад 10 000 грн під 10% на 5 років.
Прості: S = 10000 × (1 + 0.1 × 5) = 10000 × 1.5 = 15 000 грн
Складні: S = 10000 × (1.1)⁵ = 10000 × 1.61051 ≈ 16 105 грн
Різниця: 1 105 грн на користь складних відсотків!
📘 Приклад 2: Щомісячна капіталізація
Вклад 50 000 грн під 12% річних з щомісячним нарахуванням на 2 роки.
S = 50000 × (1 + 0.12/12)^(2×12) = 50000 × (1.01)²⁴
S = 50000 × 1.26973 ≈ 63 487 грн
Прибуток: 13 487 грн
Правило 72
Для швидкої оцінки часу подвоєння капіталу використовується «Правило 72»:
де r — річна ставка у відсотках
Наприклад, при ставці 8% капітал подвоїться приблизно за 72/8 = 9 років.
| Ставка | ~Подвоєння | Точно |
|---|---|---|
| 4% | 18 років | 17.7 років |
| 6% | 12 років | 11.9 років |
| 8% | 9 років | 9.0 років |
| 10% | 7.2 років | 7.3 років |
| 12% | 6 років | 6.1 років |
Неперервне нарахування відсотків
Якщо капіталізація відбувається нескінченно часто (m → ∞), використовується формула:
де e ≈ 2.71828 — число Ейлера. Це максимально можливий прибуток при даній ставці.
📘 Приклад 3: Неперервне нарахування
Вклад 100 000 грн під 10% на 3 роки з неперервною капіталізацією.
S = 100000 × e^(0.1 × 3) = 100000 × e^0.3 ≈ 100000 × 1.3499 ≈ 134 986 грн
Ефективна річна ставка
При нарахуванні m разів на рік реальна (ефективна) ставка вища за номінальну:
📘 Приклад 4
Номінальна ставка 12% з щомісячним нарахуванням.
r_eff = (1 + 0.12/12)^12 - 1 = (1.01)^12 - 1 ≈ 0.12683 = 12.68%
Ефективна ставка: 12.68% замість номінальних 12%
Зворотна задача: знаходження початкової суми
Якщо відома кінцева сума, можна знайти скільки потрібно було покласти:
📘 Приклад 5
Скільки потрібно покласти під 10% річних, щоб через 5 років мати 200 000 грн?
P = 200000 / (1.1)⁵ = 200000 / 1.61051 ≈ 124 184 грн
Знаходження ставки та строку
Строк: n = ln(S/P) / ln(1 + r/100)
Вплив частоти капіталізації
Чим частіше нараховуються відсотки, тим більший прибуток:
| Капіталізація | m | S (при P=100000, r=12%, n=1) |
|---|---|---|
| Щорічно | 1 | 112 000 грн |
| Щоквартально | 4 | 112 551 грн |
| Щомісячно | 12 | 112 683 грн |
| Щоденно | 365 | 112 747 грн |
| Неперервно | ∞ | 112 750 грн |
Інфляція та реальна ставка
Реальний прибуток завжди менший за номінальний через інфляцію. Формула Фішера:
де i — рівень інфляції. Точна формула:
Практичні поради
• Чим раніше ви починаєте інвестувати, тим більший ефект складних відсотків
• Різниця між простими і складними відсотками зростає з часом експоненційно
• Завжди порівнюйте ефективні ставки, а не номінальні
• Враховуйте інфляцію при оцінці реального прибутку
• Правило 72 — швидкий спосіб оцінити інвестиції в голові
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Фінансова математика описує часову вартість грошей та оцінку інвестицій.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.