📖 Теоретичний матеріал
Означення інтеграла
Визначений інтеграл — це границя інтегральних сум, що дорівнює площі під кривою функції f(x) на проміжку [a, b]:
де F(x) — первісна функції f(x), тобто F'(x) = f(x).
Невизначений інтеграл
Невизначений інтеграл — це множина всіх первісних функції:
Основні властивості
∫ c·f(x)dx = c·∫ f(x)dx
∫[a→b] f(x)dx = -∫[b→a] f(x)dx
∫[a→c] f(x)dx = ∫[a→b] f(x)dx + ∫[b→c] f(x)dx
Таблиця інтегралів
| ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C | ∫ 1/x dx = ln|x| + C |
| ∫ eˣ dx = eˣ + C | ∫ aˣ dx = aˣ/ln(a) + C |
| ∫ sin x dx = -cos x + C | ∫ cos x dx = sin x + C |
| ∫ 1/cos²x dx = tg x + C | ∫ 1/sin²x dx = -ctg x + C |
Метод заміни змінної
Якщо інтеграл важко обчислити безпосередньо, можна використати заміну t = g(x):
Інтегрування частинами
Для добутку двох функцій застосовується формула:
📘 Приклад 1: Степенева функція
Знайти ∫ x³ dx
∫ x³ dx = x⁴/4 + C
📘 Приклад 2: Заміна змінної
Знайти ∫ 2x·cos(x²) dx
Заміна: t = x², dt = 2x dx
∫ cos(t) dt = sin(t) + C = sin(x²) + C
📘 Приклад 3: Інтегрування частинами
Знайти ∫ x·eˣ dx
u = x, dv = eˣ dx → du = dx, v = eˣ
∫ x·eˣ dx = x·eˣ - ∫ eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C
= eˣ(x - 1) + C
📘 Приклад 4: Визначений інтеграл
Обчислити ∫[0→1] (3x² + 2x) dx
F(x) = x³ + x²
F(1) - F(0) = (1 + 1) - (0 + 0) = 2
Геометричний зміст інтеграла
Визначений інтеграл дорівнює площі під кривою функції:
S = ∫[a→b] |f(x)| dx (загальний випадок)
Площа між двома кривими
де a, b — точки перетину кривих f(x) та g(x).
📘 Приклад 5: Площа фігури
Знайти площу між y = x² і y = x на [0, 1].
На цьому проміжку x ≥ x², тому:
S = ∫[0→1] (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6
Об'єм тіла обертання
Об'єм тіла, утвореного обертанням кривої y = f(x) навколо осі OX:
📘 Приклад 6: Об'єм конуса
Знайти об'єм конуса, утвореного обертанням y = x на [0, h] навколо OX.
V = π ∫[0→h] x² dx = π · [x³/3]₀ʰ = πh³/3
Довжина дуги кривої
Методи інтегрування
| Метод | Коли застосовувати |
|---|---|
| Безпосередньо (за таблицею) | Інтеграл є в таблиці |
| Заміна змінної | Під інтегралом є f(g(x))·g'(x) |
| Частинами | Добуток різних типів функцій |
| Часткові дроби | Раціональні дроби P(x)/Q(x) |
| Тригонометричні підстановки | Корені з a² - x², a² + x² |
Невласні інтеграли
Інтеграли з нескінченними межами або з розривами підінтегральної функції:
Якщо границя існує — інтеграл збігається, інакше — розбігається.
📘 Приклад 7: Невласний інтеграл
∫[1→∞] 1/x² dx = lim[b→∞] [-1/x]₁ᵇ = lim[b→∞] (-1/b + 1) = 1 (збігається)
∫[1→∞] 1/x dx = lim[b→∞] [ln x]₁ᵇ = lim[b→∞] ln b = ∞ (розбігається)
Фізичні застосування
• Переміщення s = ∫ v(t) dt — інтеграл швидкості
• Робота A = ∫ F(x) dx — інтеграл сили за переміщенням
• Заряд q = ∫ I(t) dt — інтеграл струму за часом
• Маса m = ∫ ρ(x) dx — інтеграл густини
Типові помилки
• Забувають додати константу C у невизначеному інтегралі
• При заміні змінної забувають змінити межі інтегрування
• Помилки у знаках при інтегруванні тригонометричних функцій (∫sin x dx = -cos x + C)
• Площа під кривою може бути від'ємною — потрібно брати модуль
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Вправи з математичного аналізу розвивають навички: обчислення похідних складних функцій, знаходження первісних, обчислення визначених і невизначених інтегралів, дослідження функцій на екстремум.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.