Калькулятор інтегралів

Інтеграл - це одне з центральних понять математичного аналізу, яке є оберненою операцією до диференціювання. Інтегрування дозволяє знаходити функції за їх похідними, обчислювати площі під кривими, об'єми тіл обертання, роботу сил та багато іншого. Існують два основні типи інтегралів: невизначений інтеграл (первісна функція) та визначений інтеграл (числове значення). Наш калькулятор інтегралів підтримує обчислення інтегралів різних функцій, застосовуючи різні методи інтегрування: безпосереднє інтегрування, метод підстановки, інтегрування частинами, інтегрування раціональних дробів та інші методи. Калькулятор також дозволяє обчислювати визначені інтеграли з заданими межами інтегрування.

Калькулятор інтегралів

Введіть функцію для інтегрування:

Підтримуються: x, x², x³, sin(x), cos(x), e^x, ln(x), 1/x, sqrt(x)

Методи інтегрування та формули

Невизначений інтеграл

Невизначений інтеграл функції f(x) - це сім'я всіх первісних функцій:

∫f(x)dx = F(x) + C

де F'(x) = f(x), а C - довільна константа.

Визначений інтеграл

Визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

∫[a до b] f(x)dx = F(b) - F(a)

де F(x) - будь-яка первісна функції f(x).

Таблиця інтегралів

∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
∫1/x dx = ln|x| + C
∫e^x dx = e^x + C
∫a^x dx = a^x/ln(a) + C
∫sin(x)dx = -cos(x) + C
∫cos(x)dx = sin(x) + C
∫1/(1+x²)dx = arctan(x) + C
∫1/√(1-x²)dx = arcsin(x) + C

Метод підстановки

Якщо u = g(x), то:

∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du

Інтегрування частинами

∫u·dv = u·v - ∫v·du

Застосування інтегралів

Інтеграли мають широке практичне застосування:

Геометрія

  • Площа під кривою: S = ∫[a до b] f(x)dx
  • Об'єм тіла обертання: V = π∫[a до b] [f(x)]²dx
  • Довжина дуги кривої
  • Площа поверхні обертання

Фізика

  • Робота сили: W = ∫F(x)dx
  • Переміщення як інтеграл швидкості: s = ∫v(t)dt
  • Заряд як інтеграл струму: Q = ∫I(t)dt
  • Центр маси та момент інерції

Економіка

  • Накопичений дохід
  • Теперішня вартість майбутніх платежів
  • Споживчий та виробничий надлишок

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1: Обчисліть ∫(3x² − 2x + 5)dx.

Розв'язання: Інтегруємо кожен доданок за правилом ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C:

  • ∫3x²dx = 3 · x³/3 = x³
  • ∫−2x dx = −2 · x²/2 = −x²
  • ∫5 dx = 5x

Відповідь: x³ − x² + 5x + C

Приклад 2 (визначений інтеграл): Обчисліть ∫₀² (x² + 1)dx.

Розв'язання:

Первісна: F(x) = x³/3 + x

Застосовуємо формулу Ньютона–Лейбніца: F(2) − F(0) = (8/3 + 2) − (0 + 0) = 8/3 + 2 = 14/3 ≈ 4,67

Відповідь: 14/3 (площа під параболою x²+1 від 0 до 2)

Приклад 3 (метод підстановки): Обчисліть ∫sin(2x)dx.

Розв'язання: Підстановка t = 2x, dt = 2dx → dx = dt/2

∫sin(t) · dt/2 = −cos(t)/2 + C = −cos(2x)/2 + C

Відповідь: −½·cos(2x) + C

Приклад 4 (фізична задача): Тіло рухається зі швидкістю v(t) = 4t − 2. Знайдіть переміщення за перші 3 секунди.

Розв'язання: s = ∫₀³ (4t − 2)dt = [2t² − 2t]₀³ = (18 − 6) − 0 = 12 м

Практичне значення та контекст

Коротка довідка

Методи математичного аналізу були незалежно розроблені Ньютоном (1665–1666) та Лейбніцем (1684). У XIX ст. Коші та Вейєрштрасс заклали суворі основи теорії границь.

Де застосовується

Математичний аналіз застосовується у кожній точній науці. У фізиці похідні описують швидкість і прискорення та рівняння руху. В інженерії інтеграли використовуються для розрахунку напружень і теплових потоків. В економіці диференціальне числення дозволяє знаходити граничні витрати та прибутки. У комп'ютерних науках градієнтний спуск (похідні) є основою навчання нейронних мереж.

Часті запитання (FAQ)

Що таке інтеграл?
Інтеграл - це математична операція, обернена до диференціювання. Невизначений інтеграл дає сім'ю первісних функцій, а визначений інтеграл обчислює числове значення - площу під кривою між двома точками.
Яка різниця між визначеним та невизначеним інтегралом?
Невизначений інтеграл ∫f(x)dx = F(x) + C дає загальну первісну з довільною константою C. Визначений інтеграл ∫[a до b]f(x)dx = F(b) - F(a) дає конкретне числове значення - площу під кривою між точками a та b.
Що таке формула Ньютона-Лейбніца?
Формула Ньютона-Лейбніца встановлює зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралом: ∫[a до b]f(x)dx = F(b) - F(a), де F(x) - будь-яка первісна функції f(x). Це дозволяє обчислювати визначені інтеграли через первісні.
Як працює метод підстановки?
Метод підстановки використовується для спрощення інтегралу. Якщо u = g(x), то ∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du. Після інтегрування по u необхідно повернутися до змінної x.
Що таке інтегрування частинами?
Інтегрування частинами - це метод для інтегралів виду ∫u·dv. Формула: ∫u·dv = u·v - ∫v·du. Він корисний, коли підінтегральний вираз є добутком двох функцій, одна з яких спрощується при диференціюванні.
Чому в невизначеному інтегралі є константа C?
Константа C з'являється тому, що похідна константи дорівнює нулю. Якщо F(x) - первісна, то F(x) + C також первісна для будь-якої константи C, оскільки (F(x) + C)' = F'(x) = f(x).
Як обчислити площу під кривою?
Площа під кривою y = f(x) між точками a та b обчислюється як визначений інтеграл: S = ∫[a до b]f(x)dx. Якщо f(x) < 0 на деяких ділянках, інтеграл дає алгебраїчну суму площ (з урахуванням знаків).
Що таке невласні інтеграли?
Невласні інтеграли - це інтеграли з нескінченними межами або з необмеженими функціями. Вони обчислюються через границі: ∫[a до ∞]f(x)dx = lim(b→∞)∫[a до b]f(x)dx.
Як інтегрувати раціональні дроби?
Раціональні дроби інтегруються через розкладання на прості дроби (метод часткових дробів). Знаменник розкладається на множники, після чого дріб представляється як сума простіших дробів, які легко інтегруються.
Що таке числове інтегрування?
Числове інтегрування (квадратури) використовується, коли первісну неможливо знайти аналітично. Методи включають прямокутників, трапецій, Сімпсона та інші, які наближено обчислюють інтеграл через суму значень функції в точках.
🏋️

Тренажер: похідні та інтеграли

Практикуйтесь диференціювати перед тим як брати інтеграли.

Спробувати →

📁 Категорія: Математика