📖 Теоретичний матеріал
Означення похідної
Похідна функції f(x) у точці x₀ — це границя відношення приросту функції до приросту аргументу:
Основні правила диференціювання
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(c·f)' = c·f'
(f ± g)' = f' ± g'
(f·g)' = f'·g + f·g'
(f/g)' = (f'·g - f·g') / g²
Таблиця похідних
| (sin x)' = cos x | (cos x)' = -sin x |
| (eˣ)' = eˣ | (ln x)' = 1/x |
| (tg x)' = 1/cos²x | (ctg x)' = -1/sin²x |
| (aˣ)' = aˣ·ln a | (logₐx)' = 1/(x·ln a) |
| (arcsin x)' = 1/√(1-x²) | (arccos x)' = -1/√(1-x²) |
| (arctg x)' = 1/(1+x²) | (arcctg x)' = -1/(1+x²) |
| (√x)' = 1/(2√x) | (1/x)' = -1/x² |
Правило ланцюжка (складна функція)
Якщо y = f(g(x)), то:
📘 Приклад 1: Складна функція
Знайти похідну y = sin(3x²)
y' = cos(3x²) · (3x²)' = cos(3x²) · 6x
y' = 6x·cos(3x²)
📘 Приклад 2: Добуток функцій
Знайти похідну y = x²·sin(x)
y' = (x²)'·sin(x) + x²·(sin(x))' = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
y' = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
📘 Приклад 3: Частка функцій
Знайти похідну y = (x + 1)/(x - 1)
y' = ((x+1)'(x-1) - (x+1)(x-1)') / (x-1)²
y' = (1·(x-1) - (x+1)·1) / (x-1)²
y' = (x - 1 - x - 1) / (x-1)² = -2/(x-1)²
Геометричний зміст похідної
Похідна f'(x₀) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці x₀.
Рівняння нормалі: y = f(x₀) - (1/f'(x₀))·(x - x₀)
📘 Приклад 4: Рівняння дотичної
Написати рівняння дотичної до y = x³ у точці x₀ = 2.
f(2) = 8, f'(x) = 3x², f'(2) = 12
y = 8 + 12(x - 2) = 12x - 16
y = 12x - 16
Фізичний зміст похідної
• Похідна координати за часом — швидкість: v(t) = s'(t)
• Похідна швидкості за часом — прискорення: a(t) = v'(t) = s''(t)
• Похідна заряду за часом — сила струму: I(t) = q'(t)
Дослідження функції за допомогою похідної
| f'(x) > 0 | Функція зростає |
| f'(x) < 0 | Функція спадає |
| f'(x₀) = 0 | Критична точка (можливий екстремум) |
| f''(x₀) > 0 | Точка мінімуму (крива вгнута) |
| f''(x₀) < 0 | Точка максимуму (крива опукла) |
| f''(x₀) = 0 | Можлива точка перегину |
📘 Приклад 5: Знаходження екстремумів
Знайти екстремуми функції y = x³ - 3x.
y' = 3x² - 3 = 0 → x² = 1 → x = ±1
y'' = 6x
y''(-1) = -6 < 0 → максимум: y(-1) = -1 + 3 = 2
y''(1) = 6 > 0 → мінімум: y(1) = 1 - 3 = -2
max = 2 при x = -1; min = -2 при x = 1
Похідні вищих порядків
f'''(x) = (f''(x))' — третя похідна
f⁽ⁿ⁾(x) — n-та похідна
Правило Лопіталя
Якщо границя дає невизначеність типу 0/0 або ∞/∞:
📘 Приклад 6
lim[x→0] sin(x)/x = lim[x→0] cos(x)/1 = cos(0) = 1
Диференціал функції
Диференціал — це лінійна частина приросту функції:
Використовується для наближених обчислень: f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·Δx
Типові помилки
• (f·g)' ≠ f'·g' — потрібно використовувати правило добутку!
• Забувають множити на внутрішню похідну в складних функціях
• f'(x₀) = 0 — це необхідна, але не достатня умова екстремуму (може бути точка перегину)
• Похідна від константи = 0, а не сама константа
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Вправи з математичного аналізу розвивають навички: обчислення похідних складних функцій, знаходження первісних, обчислення визначених і невизначених інтегралів, дослідження функцій на екстремум.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.