Калькулятор похідних

Похідна функції - це одне з найважливіших понять математичного аналізу, яке вимірює швидкість зміни функції в даній точці. Похідна показує, наскільки швидко змінюється значення функції при зміні аргументу. Це поняття має фундаментальне значення в математиці, фізиці, інженерії, економіці та багатьох інших науках. Наш калькулятор похідних дозволяє обчислювати похідні різних функцій, застосовуючи правила диференціювання та таблицю похідних елементарних функцій. Калькулятор підтримує обчислення похідних поліномів, тригонометричних функцій, експоненціальних та логарифмічних функцій, а також складних функцій з використанням правила ланцюга та інших правил диференціювання.

Калькулятор похідних

Введіть функцію для диференціювання:

Підтримуються: x, x², x³, sin(x), cos(x), tan(x), ln(x), log(x), e^x, sqrt(x), abs(x)

Правила та формули диференціювання

Визначення похідної

Похідна функції f(x) у точці x визначається як границя:

f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

Якщо ця границя існує, функція називається диференційовною в точці x.

Основні правила диференціювання

Похідна константи:

d/dx [c] = 0

Похідна степеневої функції:

d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹

Похідна суми/різниці:

d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

Похідна добутку (правило добутку):

d/dx [f(x)·g(x)] = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

Похідна частки (правило частки):

d/dx [f(x)/g(x)] = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)] / [g(x)]²

Правило ланцюга (складна функція):

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) · g'(x)

Похідні елементарних функцій

d/dx [sin(x)] = cos(x)
d/dx [cos(x)] = -sin(x)
d/dx [tan(x)] = sec²(x) = 1/cos²(x)
d/dx [e^x] = e^x
d/dx [a^x] = a^x · ln(a)
d/dx [ln(x)] = 1/x
d/dx [log_a(x)] = 1/(x·ln(a))
d/dx [√x] = 1/(2√x)
d/dx [arcsin(x)] = 1/√(1-x²)
d/dx [arccos(x)] = -1/√(1-x²)

Застосування похідних

Похідні мають надзвичайно широке застосування в різних сферах:

Фізика

  • Швидкість як похідна переміщення за часом: v(t) = ds/dt
  • Прискорення як похідна швидкості: a(t) = dv/dt = d²s/dt²
  • Сила струму як похідна заряду: I = dQ/dt
  • Потужність як похідна роботи: P = dW/dt

Економіка

  • Граничні витрати та граничний дохід
  • Еластичність попиту
  • Оптимізація прибутку
  • Аналіз темпів зростання

Геометрія

  • Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої
  • Дослідження функцій на екстремуми
  • Точки перегину та опуклість
  • Асимптоти та поведінка функцій

Приклади розв'язання

Покрокові задачі

Приклад 1: Знайдіть похідну f(x) = 3x⁴ − 5x² + 2x − 7.

Розв'язання:

Диференціюємо кожен доданок за правилом степеневої функції d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹:

  • d/dx[3x⁴] = 3·4x³ = 12x³
  • d/dx[−5x²] = −5·2x = −10x
  • d/dx[2x] = 2
  • d/dx[−7] = 0

Відповідь: f'(x) = 12x³ − 10x + 2

Приклад 2: Знайдіть похідну g(x) = sin(x) · eˣ.

Розв'язання: Застосовуємо правило добутку: (u·v)' = u'·v + u·v'.

Нехай u = sin(x), v = eˣ. Тоді u' = cos(x), v' = eˣ.

g'(x) = cos(x)·eˣ + sin(x)·eˣ = eˣ(cos(x) + sin(x))

Відповідь: g'(x) = eˣ(cos x + sin x)

Приклад 3: Знайдіть похідну h(x) = ln(x² + 1).

Розв'язання: Застосовуємо правило ланцюга: [ln(u)]' = u'/u.

Нехай u = x² + 1, тоді u' = 2x.

h'(x) = (2x) / (x² + 1)

Відповідь: h'(x) = 2x / (x² + 1)

Приклад 4 (фізична задача): Тіло рухається за законом s(t) = 4t³ − 6t² + 2. Знайдіть швидкість та прискорення у момент t = 2 с.

Розв'язання:

Швидкість: v(t) = s'(t) = 12t² − 12t

При t = 2: v(2) = 12·4 − 12·2 = 48 − 24 = 24 м/с

Прискорення: a(t) = v'(t) = 24t − 12

При t = 2: a(2) = 24·2 − 12 = 48 − 12 = 36 м/с²

Практичне значення та контекст

Коротка довідка

Методи математичного аналізу були незалежно розроблені Ісааком Ньютоном (метод флюксій, 1665–1666) та Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем (1684). Ньютон застосовував аналіз переважно в механіці та гравітації, тоді як Лейбніц запровадив загальноприйняте сьогодні позначення (dx, ∫, d/dx). Суперечка про пріоритет між школами Ньютона і Лейбніца тривала десятиліттями. У XIX ст. Коші та Вейєрштрасс заклали суворі ε-δ основи теорії границь.

Де застосовується

Математичний аналіз застосовується буквально у кожній точній науці. У фізиці похідні описують швидкість і прискорення, рівняння руху планет, поширення хвиль та квантово-механічні змінні. В інженерії інтеграли використовуються для розрахунку напружень, деформацій, теплових потоків та роботи двигунів. В економіці диференціальне числення дозволяє знаходити граничні витрати, доходи та точку максимального прибутку. У медицині та біології диференціальні рівняння описують динаміку популяцій, поширення інфекцій та фармакокінетику ліків. В комп'ютерних науках градієнтний спуск (оптимізація через похідні) є основою навчання нейронних мереж і машинного навчання.

🏋️

Тренажер: похідні функцій

Відпрацюйте навички диференціювання на практичних прикладах.

Спробувати →

📚 Читайте також

📖

Обчислення похідних онлайн

Правила диференціювання, таблиця похідних, приклади з покроковим розв'язанням.

Часті запитання (FAQ)

Що таке похідна функції?
Похідна функції f(x) у точці x - це границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Вона показує швидкість зміни функції в даній точці та дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції.
Що означає фізичний зміст похідної?
Фізично похідна показує миттєву швидкість зміни величини. Наприклад, похідна переміщення за часом - це швидкість, похідна швидкості - прискорення. У економіці похідна витрат - це граничні витрати.
Що таке правило ланцюга?
Правило ланцюга використовується для диференціювання складної функції f(g(x)). Воно стверджує, що похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції на похідну внутрішньої: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x).
Як знайти похідну добутку двох функцій?
Для добутку f(x)·g(x) похідна обчислюється за правилом добутку: (f·g)' = f'·g + f·g'. Наприклад, похідна x·sin(x) дорівнює 1·sin(x) + x·cos(x) = sin(x) + x·cos(x).
Що таке друга похідна?
Друга похідна - це похідна від першої похідної, позначається f''(x) або d²f/dx². Вона показує швидкість зміни самої похідної та використовується для дослідження опуклості функції та знаходження точок перегину.
Чому похідна константи дорівнює нулю?
Константа не змінюється, тому її швидкість зміни дорівнює нулю. Математично: якщо f(x) = c, то f'(x) = lim(h→0)[(c-c)/h] = lim(h→0)[0/h] = 0.
Як знайти похідну частки?
Для частки f(x)/g(x) похідна обчислюється за правилом частки: (f/g)' = (f'·g - f·g')/g². Важливо, що знаменник g(x) не повинен дорівнювати нулю.
Що таке неявне диференціювання?
Неявне диференціювання використовується, коли функція задана неявно рівнянням F(x,y) = 0. При цьому диференціюємо обидві частини рівняння по x, враховуючи, що y є функцією від x, і виражаємо y' через x та y.
Як використовувати похідну для знаходження екстремумів?
Для знаходження екстремумів функції необхідно знайти критичні точки, де f'(x) = 0 або f'(x) не існує. Потім перевірити знак другої похідної: якщо f''(x) > 0 - мінімум, якщо f''(x) < 0 - максимум.
Що таке часткові похідні?
Часткові похідні використовуються для функцій багатьох змінних. Часткова похідна по x позначається ∂f/∂x і обчислюється як звичайна похідна, коли всі інші змінні вважаються константами.

📁 Категорія: Математика