∂ Похідна функції
Похідна — фундаментальне поняття математичного аналізу, що описує миттєву швидкість зміни функції в точці. Це основа для вивчення оптимізації, фізики руху та економічного моделювання.
📚 Визначення
Геометричний зміст
Похідна функції f(x) в точці x₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці:
Фізичний зміст
Якщо s(t) — шлях, пройдений тілом за час t, то похідна s'(t) дорівнює миттєвій швидкості:
Аналогічно, прискорення — це похідна від швидкості: a(t) = v'(t) = s''(t)
📐 Правила диференціювання
| Правило | Формула | Опис |
|---|---|---|
| Константа | (c)' = 0 | Похідна константи дорівнює нулю |
| Степенева | (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ | Степінь виноситься, показник зменшується на 1 |
| Сума | (f + g)' = f' + g' | Похідна суми = сума похідних |
| Добуток | (f·g)' = f'·g + f·g' | Правило Лейбніца |
| Частка | (f/g)' = (f'·g - f·g')/g² | Для дробів |
| Складна функція | (f(g(x)))' = f'(g)·g'(x) | Правило ланцюга (chain rule) |
📋 Таблиця похідних
✏️ Приклади
Приклад 1: Поліноміальна функція
Застосовуємо правило суми та степеневу формулу:
f'(x) = 3·4x³ - 2·3x² + 5·1 - 0
Приклад 2: Правило добутку
Застосовуємо правило добутку: (u·v)' = u'·v + u·v'
u = x², u' = 2x
v = sin(x), v' = cos(x)
f'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
Приклад 3: Складна функція
Застосовуємо правило ланцюга:
Зовнішня функція: sin(u), її похідна: cos(u)
Внутрішня функція: u = 3x² + 1, її похідна: 6x
f'(x) = cos(3x² + 1)·6x
Приклад 4: Правило частки
Застосовуємо правило частки: (u/v)' = (u'v - uv')/v²
u = x² + 1, u' = 2x; v = x - 3, v' = 1
f'(x) = (2x(x-3) - (x²+1)·1) / (x-3)²
= (2x² - 6x - x² - 1) / (x-3)²
Приклад 5: Показниково-степенева функція
Логарифмічне диференціювання: ln(f) = x·ln(x)
f'/f = ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1
f' = f · (ln(x) + 1) = xx(ln(x) + 1)
📈 Похідні вищих порядків
Означення
Похідна від похідної — це друга похідна, і так далі:
Формула Лейбніца для n-ї похідної добутку:
🔄 Неявне та параметричне диференціювання
Неявна функція
Якщо y задана рівнянням F(x,y) = 0, диференціюємо обидві частини по x:
Приклад 6: Неявна функція
Диференціюємо: 2x + 2y·y' = 0
y' = -2x/(2y) = -x/y
Параметричне диференціювання
Якщо x = x(t) і y = y(t):
🎯 Дослідження функції
Екстремуми
Алгоритм знаходження екстремумів:
- 1. Знайти f'(x) = 0 → критичні точки
- 2. Перевірити f''(x₀): якщо f'' > 0 → мінімум, f'' < 0 → максимум
- 3. Якщо f'' = 0 → перевірка зміни знаку f'
Опуклість та точки перегину
f''(x) < 0 → опукла догори (∩)
Правило Лопіталя
Для невизначеностей 0/0 або ∞/∞:
Приклад 7: Знаходження екстремуму
f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x² = 1 → x = ±1
f''(x) = 6x
f''(-1) = -6 < 0 → максимум, f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4
f''(1) = 6 > 0 → мінімум, f(1) = 1 - 3 + 2 = 0
Приклад 8: Правило Лопіталя
Невизначеність 0/0. Застосовуємо Лопіталя:
lim = limx→0 cos(x)/1 = cos(0) = 1
📏 Рівняння дотичної та нормалі
Нормаль: y - y₀ = -1/f'(x₀) · (x - x₀)
⚠️ Типові помилки
- Забувають помножити на похідну внутрішньої функції (chain rule): (sin(2x))' = 2cos(2x), а не cos(2x)
- Плутають (f·g)' = f'·g' — неправильно! Правило добутку: f'·g + f·g'
- (ex)' = ex, але (e2x)' = 2e2x (не e2x)
- (ln x)' = 1/x, але (ln 2x)' = 1/x (не 1/2x) — через ln(2x) = ln2 + lnx
- f'(x₀) = 0 не завжди означає екстремум (наприклад x³ у точці 0)
- Правило Лопіталя застосовне лише при невизначеностях 0/0 або ∞/∞
🎯 Застосування
📈 Оптимізація
Знаходження максимумів та мінімумів функцій. Екстремум досягається там, де f'(x) = 0.
🚀 Фізика руху
Швидкість — похідна від переміщення, прискорення — похідна від швидкості.
💰 Економіка
Граничні витрати, граничний дохід, еластичність попиту — все через похідні.
🤖 Machine Learning
Градієнтний спуск — оптимізація нейронних мереж через похідні функції втрат.
Про ці формули
Цей розділ містить систематизований збірник формул з відповідної теми. Кожна формула наведена у загальному вигляді з поясненням позначень та вказівкою на область застосування.
Ключові формули математичного аналізу: похідні, інтеграли, ряди, граничні переходи та теореми про середнє значення — фундамент кількісного опису природи.
Як застосовувати формули
Спочатку зрозумійте фізичний або математичний сенс формули, потім переходьте до числових підстановок. Перевіряйте розмірності одиниць перед обчисленням — це допомагає уникнути помилок.