📐 Математика
Правила диференціювання — Таблиця похідних
Повна довідка: похідні основних функцій, правила диференціювання, ланцюжкове правило — з прикладами
Таблиця похідних основних функцій
| Функція f(x) | Похідна f′(x) | Приклад |
|---|
| c (const) | 0 | (7)′ = 0 |
| x | 1 | (x)′ = 1 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | (x⁵)′ = 5x⁴ |
| √x | 1 / (2√x) | (√x)′ = 1/(2√x) |
| 1/x | −1/x² | (1/x)′ = −1/x² |
| eˣ | eˣ | (eˣ)′ = eˣ |
| aˣ | aˣ · ln a | (2ˣ)′ = 2ˣ ln 2 |
| ln x | 1/x | (ln x)′ = 1/x |
| log₍ₐ₎x | 1 / (x·ln a) | (log₂x)′ = 1/(x·ln 2) |
| sin x | cos x | (sin x)′ = cos x |
| cos x | −sin x | (cos x)′ = −sin x |
| tg x | 1/cos²x | (tan x)′ = 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x | (cot x)′ = −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1−x²) | (arcsin x)′ = 1/√(1−x²) |
| arccos x | −1/√(1−x²) | (arccos x)′ = −1/√(1−x²) |
| arctg x | 1/(1+x²) | (arctan x)′ = 1/(1+x²) |
Правила диференціювання
Константа: (c·f)′ = c·f′
(5x³)′ = 5·(x³)′ = 5·3x² = 15x²
Сума/різниця: (f ± g)′ = f′ ± g′
(x³ + sin x)′ = 3x² + cos x
Добуток: (f·g)′ = f′·g + f·g′
(x²·sin x)′ = 2x·sin x + x²·cos x
⚠ Увага: (f·g)′ ≠ f′·g′
Частка: (f/g)′ = (f′·g − f·g′) / g²
(sin x / x)′ = (cos x·x − sin x·1) / x² = (x cos x − sin x) / x²
Ланцюжкове правило (складена функція): [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)
(sin(x²))′ = cos(x²)·2x = 2x·cos(x²)
Ідея: диференціюємо «зовнішню» функцію × «внутрішня» похідна
Ланцюжкове правило — більше прикладів
| Функція | Де f(u) | Де u = g(x) | Похідна |
|---|
| e^(3x) | eᵘ | 3x | 3e^(3x) |
| ln(x²+1) | ln u | x²+1 | 2x/(x²+1) |
| (2x+1)⁵ | u⁵ | 2x+1 | 5(2x+1)⁴·2 = 10(2x+1)⁴ |
| √(1−x²) | √u | 1−x² | −x/√(1−x²) |
| cos(5x) | cos u | 5x | −5 sin(5x) |
Похідні вищих порядків
Похідна другого порядку f″(x) — це похідна від похідної: f″(x) = (f′(x))′
| f(x) | f′(x) | f″(x) |
|---|
| x⁴ | 4x³ | 12x² |
| sin x | cos x | −sin x |
| eˣ | eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x | −1/x² |
Як користуватися шпаргалкою
Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.
Шпаргалка з матаналізу охоплює: правила диференціювання (добутку, частки, ланцюгове), таблицю похідних елементарних функцій, методи інтегрування (заміна змінної, частинне інтегрування), правила Лопіталя та ряди Тейлора.
Ефективне використання
Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.
Часті запитання (FAQ)
Які ключові формули та правила містить шпаргалка з правила диференціювання?
Ця шпаргалка з 'Правила диференціювання' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.
Для кого призначена ця шпаргалка з правила диференціювання?
Шпаргалка з 'Правила диференціювання' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.
Як використовувати шпаргалку з правила диференціювання при підготовці до іспиту?
Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.
Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з правила диференціювання?
Шпаргалка з 'Правила диференціювання' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.
Де ще можна попрактикуватися з правила диференціювання після вивчення шпаргалки?
Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.