📖 Теоретичний матеріал
Означення логарифма
Логарифм числа b за основою a — це показник степеня, у який треба піднести a, щоб отримати b:
де a > 0, a ≠ 1, b > 0
Спеціальні види логарифмів
| Десятковий | lg(x) = log₁₀(x) |
| Натуральний | ln(x) = logₑ(x), де e ≈ 2.718 |
| Двійковий | lb(x) = log₂(x) |
Основна логарифмічна тотожність
Властивості логарифмів
logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)
logₐ(xⁿ) = n·logₐ(x)
logₐ(1) = 0
logₐ(a) = 1
Формула переходу до іншої основи
Для переходу від логарифма за основою a до логарифма за основою c:
Зокрема:
logₐ(b) = lg(b) / lg(a)
Додаткові властивості
logₐ(b) = 1 / logb(a)
logₐⁿ(bⁿ) = logₐ(b)
aˡᵒᵍᶜ⁽ᵇ⁾ = bˡᵒᵍᶜ⁽ᵃ⁾
Логарифмічні рівняння
Основний метод розв'язання — приведення до одної основи та використання монотонності:
При цьому необхідно перевірити ОДЗ: f(x) > 0 та g(x) > 0
Графік функції y = logₐ(x)
Властивості:
- Область визначення: x > 0
- Область значень: всі дійсні числа
- Проходить через точку (1, 0)
- При a > 1: зростаюча функція
- При 0 < a < 1: спадна функція
📘 Приклад 1: Обчислення логарифма
Знайти log₂(32).
2⁵ = 32, отже log₂(32) = 5
📘 Приклад 2: Використання властивостей
Обчислити lg(2) + lg(50).
lg(2) + lg(50) = lg(2 × 50) = lg(100) = 2
📘 Приклад 3: Формула переходу
Обчислити log₃(81) через натуральний логарифм.
log₃(81) = ln(81) / ln(3) = ln(3⁴) / ln(3) = 4·ln(3) / ln(3) = 4
📘 Приклад 4: Спрощення виразу
Спростити: 2·lg5 + lg4.
= lg(5²) + lg(4) = lg(25) + lg(4) = lg(25 × 4) = lg(100) = 2
Логарифмічні рівняння: приклади
📘 Приклад 5: Просте рівняння
Розв'язати: log₃(x) = 4
x = 3⁴ = 81
Перевірка ОДЗ: x = 81 > 0 ✅
📘 Приклад 6: Рівняння з використанням властивостей
Розв'язати: log₂(x) + log₂(x - 2) = 3
log₂(x(x - 2)) = 3
x(x - 2) = 2³ = 8
x² - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0 → x = 4 або x = -2
ОДЗ: x > 0 і x - 2 > 0, тобто x > 2
Відповідь: x = 4 (x = -2 не входить в ОДЗ)
Логарифмічні нерівності
При розв'язанні нерівностей знак залежить від основи:
Якщо 0 < a < 1: logₐ(f) > logₐ(g) ⟺ 0 < f < g
Ключове: при основі менше 1 знак нерівності змінюється!
📘 Приклад 7: Нерівність
Розв'язати: log₂(x + 3) ≤ 4
Основа 2 > 1, тому: x + 3 ≤ 2⁴ = 16 → x ≤ 13
ОДЗ: x + 3 > 0 → x > -3
Відповідь: x ∈ (-3; 13]
Показникові рівняння та логарифми
Логарифми використовуються для розв'язання показникових рівнянь:
📘 Приклад 8: Показникове рівняння
Розв'язати: 5ˣ = 200
x = log₅(200) = ln(200)/ln(5) ≈ 5.298/1.609 ≈ 3.29
Застосування логарифмів
• Шкала Ріхтера: M = log₁₀(A/A₀) — магнітуда землетрусу (логарифмічна)
• Децибели: L = 10·lg(P/P₀) — рівень звуку
• pH: pH = -lg[H⁺] — кислотність розчину
• Фінанси: складні відсотки, час подвоєння: t = ln(2)/ln(1+r)
• Інформатика: O(log n) — бінарний пошук, висота збалансованого дерева
• Теорія інформації: кількість біт = log₂(N)
Натуральний логарифм і число e
Число e — це границя:
ln(e) = 1, ln(1) = 0
(eˣ)' = eˣ — єдина функція, рівна своїй похідній
(ln x)' = 1/x
Типові помилки
• log(a + b) ≠ log(a) + log(b) — це не лінійна функція!
• log(a · b) = log(a) + log(b) — тільки для добутку
• Забувають перевіряти ОДЗ (аргумент > 0, основа > 0 і ≠ 1)
• При нерівностях з основою 0 < a < 1 знак змінюється
• lg(0) та lg(від'ємних) — не існують!
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Вправи з математичного аналізу розвивають навички: обчислення похідних складних функцій, знаходження первісних, обчислення визначених і невизначених інтегралів, дослідження функцій на екстремум.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.