1. Що таке логарифм?
Логарифм відповідає на питання: «У який ступінь треба піднести основу a, щоб отримати b?»
Простий приклад: скільки разів треба помножити 2 на само себе, щоб отримати 8?
Ключова ідея: логарифм і степінь — це взаємно обернені операції. Якщо ступінь «підвищує», логарифм «знижує».
2. Властивості логарифмів
Усього три основні властивості — і з ними можна розкласти будь-який логарифмічний вираз:
| Властивість | Формула | Звідки |
|---|---|---|
| Логарифм добутку | logₐ(mn) = logₐm + logₐn | aˢ·aᵗ = aˢ⁺ᵗ |
| Логарифм частки | logₐ(m/n) = logₐm − logₐn | aˢ/aᵗ = aˢ⁻ᵗ |
| Логарифм степеня | logₐ(mⁿ) = n·logₐm | (aˢ)ⁿ = aˢⁿ |
| logₐ(a) = 1 | logₐ(a) = 1 | a¹ = a |
| logₐ(1) = 0 | logₐ(1) = 0 | a⁰ = 1 |
| Зміна основи | logₐ(b) = logₒ(b) / logₒ(a) | Для будь-якої основи o |
3. Натуральний і десятковий логарифм
Натуральний логарифм ln
Основа e ≈ 2.71828 — число Ейлера — з'являється природним чином при описі неперервного зростання:
ln широко використовується в аналізі, фізиці та статистиці. Наприклад, час подвоєння при постійному темпі росту r: t = ln(2)/r.
Десятковий логарифм lg
Зручний для оцінки порядку числа: lg(1000000) = 6, тобто мільйон — це 10 в 6-ому ступені.
4. Формальна зміна основи
Калькулятори зазвичай мають лише ln і lg. Будь-який логарифм виражається через них:
Приклад: зміна основи
log₃(81) = ln(81)/ln(3) = 4·ln(3)/ln(3) = 4
5. Логарифмічні рівняння: стратегія
- Знайдіть область допустимих значень (аргументи логарифмів > 0)
- Зведіть усі логарифми до однієї основи
- Застосуйте властивості логарифмів для спрощення
- Перейдіть від логарифмічної до показникової форми
- Перевірте відповідь в ОДЗ
Задача: розв'яжіть log₂(x) + log₂(x−2) = 3
ОДЗ: x > 0 і x−2 > 0 → x > 2
log₂(x(x−2)) = 3 → x(x−2) = 2³ = 8
x²−2x−8 = 0 → (x−4)(x+2) = 0
x = 4 або x = −2 (не підходить за ОДЗ)
Відповідь: x = 4
6. Де зустрічаються логарифми в реальному житті
🧮 Обчисліть логарифм онлайн
Використовуйте наш калькулятор логарифмів для обчислень з будь-якою основою.
Відкрити калькуляторПро цю статтю
Ця стаття є частиною бази знань calculator.party — освітнього ресурсу, що поєднує теорію з практичними інструментами. Матеріал орієнтований на студентів, учнів і фахівців, що прагнуть глибокого розуміння теми. Тут зібрані ключові концепції, формули та реальні приклади застосування.
Навіщо читати цю статтю
Після прочитання ви зможете впевнено пояснити тему, вирішувати практичні задачі та застосовувати знання у навчанні й роботі. Стаття охоплює теоретичне підґрунтя і числові приклади, що полегшують запам'ятовування матеріалу.