🔢 Алгебра
Шпаргалка з алгебри
Формули скороченого множення, рівняння, прогресії, степені та логарифми — повна довідка
Формули скороченого множення (ФСМ)
Різниця квадратів
a² − b² = (a+b)(a−b)
Квадрат суми
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат різниці
(a−b)² = a² − 2ab + b²
Куб суми
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
Куб різниці
(a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
Сума кубів
a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
Різниця кубів
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
Теорема Бінома (n=4)
(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
✦ Бінomial теорема: (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, де C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
Квадратні рівняння ax² + bx + c = 0
Дискримінант: D = b² − 4ac
Корені: x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)
| Умова | Кількість коренів |
|---|
| D > 0 | Два різних дійсних корені |
| D = 0 | Один корінь (кратний): x = −b/(2a) |
| D < 0 | Немає дійсних коренів |
✦ Теорема Вієта: x₁+x₂ = −b/a; x₁·x₂ = c/a (для a=1: x₁+x₂=−b, x₁·x₂=c)
Ступені та коріння
Добуток ступенів
aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
Частка ступенів
aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
Ступінь ступеня
(aⁿ)ᵐ = aⁿˡᵐ
Ступінь добутку
(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ
Від'ємний показник
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Дробовий показник
aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ)
Нульовий ступінь
a⁰ = 1 (a ≠ 0)
Добуток коренів
√a · √b = √(ab)
Логарифми
Означення: logₐ(b) = x ⟺ aˣ = b
| Властивість | Формула |
|---|
| Логарифм добутку | logₐ(mn) = logₐ(m) + logₐ(n) |
| Логарифм частки | logₐ(m/n) = logₐ(m) − logₐ(n) |
| Логарифм степеня | logₐ(mⁿ) = n · logₐ(m) |
| Зміна основи | logₐ(b) = logₒ(b) / logₒ(a) |
| logₐ(a) | = 1 |
| logₐ(1) | = 0 |
| Натуральний логарифм | ln(x) = logₑ(x), e ≈ 2.71828 |
| Десятковий логарифм | lg(x) = log₁₀(x) |
✦ Зворотна функція: aˡᵒᵍᵃ⁽ˣ⁾ = x та logₐ(aˣ) = x
Арифметична прогресія
n-й елемент: aₙ = a₁ + (n−1)·d
Сума n елементів: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 = n·(2a₁ + (n−1)d)/2
✦ d — різниця прогресії: d = aₙ₊₁ − aₙ (стала для всіх n)
Геометрична прогресія
n-й елемент: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Сума n елементів: Sₙ = b₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1
Сума нескінченної (|q|<1): S = b₁/(1 − q)
✦ q — знаменник прогресії: q = bₙ₊₁/bₙ
Нерівності — основні правила
| Операція | Правило |
|---|
| Додавання/Віднімання | Знак нерівності не змінюється |
| Множення на k > 0 | Знак нерівності не змінюється |
| Множення на k < 0 | Знак нерівності змінюється на протилежний |
| Зведення до спільного знаменника | Враховувати знак знаменника! |
| |x| < a (a > 0) | −a < x < a |
| |x| > a (a > 0) | x < −a або x > a |
Модулі та абсолютні значення
Означення
|x| = x якщо x≥0; −x якщо x<0
Відстань на прямій
|a − b| = відстань між a і b
Трикутникова нер-ть
|a+b| ≤ |a| + |b|
Добуток модулів
|ab| = |a|·|b|
Як користуватися шпаргалкою
Ця шпаргалка зосереджує найважливіші формули, правила та визначення теми в компактному форматі для швидкого пошуку та підготовки до іспитів. Матеріал систематизований від базових понять до просунутих результатів.
Ефективне використання
Використовуйте шпаргалку поряд з розв'язуванням задач — не для списування, а як довідник формул. Спершу спробуйте пригадати формулу самостійно, потім звіртеся з довідником. Регулярне повторення формує стійку пам'ять.
Часті запитання (FAQ)
Які ключові формули та правила містить шпаргалка з алгебри?
Ця шпаргалка з 'алгебри' включає: основні означення, головні формули у компактному вигляді, правила обчислень, типові підстановки та приклади застосування. Все систематизовано для швидкого пошуку.
Для кого призначена ця шпаргалка з алгебри?
Шпаргалка з 'алгебри' орієнтована на студентів університетів та учнів старшої школи, а також на всіх, хто хоче швидко освіжити знання перед іспитом або при вирішенні практичних задач.
Як використовувати шпаргалку з алгебри при підготовці до іспиту?
Оптимальна стратегія: спершу вивчіть теорію, потім використовуйте шпаргалку як довідник при розв'язанні задач. За 1–2 дні до іспиту перегляньте шпаргалку цілком, звертаючи увагу на формули, які ви плутаєте.
Чи охоплює ця шпаргалка всю програму курсу з алгебри?
Шпаргалка з 'алгебри' охоплює стандартну університетську програму: всі ключові теореми, формули та методи. Матеріал структурований від базових понять до просунутих результатів.
Де ще можна попрактикуватися з алгебри після вивчення шпаргалки?
Після роботи зі шпаргалкою рекомендуємо: тренажери вправ на calculator.party (миттєвий зворотний зв'язок), розв'язані задачі (показують метод покроково) та онлайн-калькулятори для перевірки власних результатів.