📖 Теоретичний матеріал
Числовий ряд
Числовий ряд — сума нескінченної послідовності: Σaₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ...
Часткова сума: Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ. Ряд збігається, якщо існує lim Sₙ = S.
Необхідна умова збіжності
Увага: зворотне невірне! (гармонічний ряд: Σ1/n розходиться, хоча 1/n→0)
Геометричний ряд
Розходиться, якщо |q| ≥ 1
Часткова сума перших n членів: Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)
Ознаки збіжності
| Даламбера | lim|aₙ₊₁/aₙ| = L: збіг. L<1, розх. L>1, невизн. L=1 |
| Коші (радикальна) | lim ⁿ√|aₙ| = L: тe ж саме |
| Порівняння | 0 ≤ aₙ ≤ bₙ: збіг. bₙ → збіг. aₙ; розх. aₙ → розх. bₙ |
| Лейбніця (знакочерг.) | Σ(-1)^n·bₙ збіг. якщо bₙ↘0 |
| Інтегральна | Σaₙ і ∫f(x)dx збігаються або розходяться разом |
Абсолютна та умовна збіжність
Ряд абсолютно збігається, якщо Σ|aₙ| збігається. Абс. збіжність ⇒ збіжність.
Степеневий ряд
Радіус збіжності: R = lim|cₙ/cₙ₊₁| або R = 1/lim ⁿ√|cₙ|
Ряди Маклорена
sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ... (R = ∞)
cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... (R = ∞)
1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + ... (|x| < 1)
Про ці вправи
Цей тренажер допомагає перевірити та закріпити знання через серію задач з миттєвим зворотним зв'язком. Кожна відповідь супроводжується детальним поясненням — незалежно від того, правильна вона чи хибна.
Як ефективно тренуватися
Виконуйте вправи регулярно, навіть по 10–15 хвилин на день. Не пропускайте пояснення — вони містять ключові ідеї, що виходять за межі конкретної задачі. Повертайтесь до складних питань через кілька днів.